洛谷 P1220 关路灯 (Java 动态规划)

该博客讨论了一种动态规划方法来解决如何最节省电地关闭一排路灯的问题。老张从中间某盏路灯开始,每次可以选择向左或向右关闭路灯。通过维护两个状态表示老张站在灯的左边或右边,使用区间dp模板并考虑掉头和沿原方向行走的能耗,计算出从起点到终点的最小能耗。博客提供了完整的Java代码实现,包括状态转移方程和前缀和计算策略。

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题目描述

某一村庄在一条路线上安装了 n 盏路灯,每盏灯的功率有大有小(即同一段时间内消耗的电量有多有少)。老张就住在这条路中间某一路灯旁,他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费,老张记录下了每盏路灯的位置和功率,他每次关灯时也都是尽快地去关,但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯,然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率,然后选择先关掉功率大的一边,再回过头来关掉另一边的路灯,而事实并非如此,因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为 1m/s,每个路灯的位置(是一个整数,即距路线起点的距离,单位:m)、功率(W),老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序,使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少(灯关掉后便不再消耗电了)。

输入格式

第一行是两个数字 n(表示路灯的总数)和 c(老张所处位置的路灯号);

接下来 n 行,每行两个数据,表示第 1 盏到第 n 盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式

一个数据,即最少的功耗(单位:J,1J =1W × s)。

题目链接:关路灯

思路:

从题中关灯时间不计可知只要路过某个路灯就表示它关了,假设用dp[i][j]表示关闭第 i 到第 j 个路灯的最小耗能。这道题类似区间dp问题,先上模板:(模板例题:石子合并

for (int len = 2; len <= n; len++) {         // 区间长度
    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) { // 区间起点
        int j = i + len - 1;                 // 区间终点

        for (int k = i; k < j; k++) {        // 枚举分割点,构造状态转移方程
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + 合并区间的消耗);
        }
    }
}

然后它又可能是沿着上一次的的方向走下去,或者是选择了掉头,为记录掉头和沿着走,我们可以增加一维空间,存储上一次状态老张在 点还是 点。这里dp[i][j][0]表示关完 i 到 j 个路灯老张站在最左边,即 i 点,dp[i][j][1]则代表老张站在最右边,即 j 点。

因此dp[i][j][0]表示上个状态往左走的,所以一定是dp[i+1][j][0]沿着走或者dp[i+1][j][1]掉头来的,那么dp[i][j][1]一定是dp[i][j-1][0]掉头或者dp[i][j-1][1]沿着走转移来的,它的区间分割状态只有两种,所以我们这里不需要区间分割点k,这是和模板的不同点,即变为:

for (int len = 2; len <= n; len++) {         // 区间长度
    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) { // 区间起点
        int j = i + len - 1;                 // 区间终点

        f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+对应消耗,f[i+1][j][1]+对应消耗);
        f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+对应消耗,f[i][j-1][1]+对应消耗);
    }
}

每次关完 i 到 j 后我们还要计算其他未关的路灯耗能多少,加上已关完路灯消耗的总耗能就是本次的耗能,对于未关路灯的总耗能,我们可以用前缀和来计算,sum[i]表示第一个到第i个路灯的总功率。这里我们可以用一个函数count()来计算总耗能。

    public static int count(int x, int y, int l, int r, int n) {
		return (po[y]-po[x]) * (sum[n]-sum[r]+sum[l-1]);
	}

其中 x 和 y 是从第 y 个路灯走到第 x 个路灯,po数组是各自距起点的距离,po[y]-po[x]就是走的距离,速度1m/s,所以它又可以代表消耗的时间,l 和 r 表示第 l 个到第 r 个路灯是关闭的,n 是路灯总数,sum[n]-sum[r]代表已关区间右边未关的灯的总功率sum[l-1]就是左边未关的灯的总功率,再乘以时间就是未关的灯消耗的总功率

所以得到状态转移方程:

dp[i][j][0] = min(dp[i+1][j][0] + count(i, i+1, i+1, j, n),  dp[i+1][j][1] + count(i, j, i+1, j, n));

dp[i][j][1] = min(dp[i][j-1][0] + count(i, j, i, j-1, n), dp[i][j-1][1] + count(j-1, j, i, j-1, n));

设置初态dp[c][c][0] = dp[c][c][1] = 0,因为起点可以直接关灯,不消耗时间和功率。

代入模板:

for (int len = 2; len <= n; len++) {
	for (int i = 1; i+len-1 <= n; i++) {
		int j = i+len-1;
		dp[i][j][0] = Math.min(dp[i+1][j][0] + count(i, i+1, i+1, j, n), 
				dp[i+1][j][1] + count(i, j, i+1, j, n));
		dp[i][j][1] = Math.min(dp[i][j-1][0] + count(i, j, i, j-1, n),
				dp[i][j-1][1] + count(j-1, j, i, j-1, n));
	}
}

最后输出dp[1][n][0] dp[1][n][1] 的较大值即可。

完整代码:

import java.util.Scanner;
public class Main {
	static int[][][] dp = new int[51][51][2];
	static int[] po = new int[51];
	static int[] sum = new int[51];
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt(), c = sc.nextInt();
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			po[i] = sc.nextInt();
			sum[i] = sum[i-1] + sc.nextInt();//计算前缀和
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) 
			for (int j = 1; j <= n; j++) 	//将dp数组都初始化为一个超大的值,因为我们求的是最小功耗
				dp[i][j][0]=dp[i][j][1] = Integer.MAX_VALUE/3;
		dp[c][c][0] = dp[c][c][1] = 0;	//初始位置的功耗为0
		for (int len = 2; len <= n; len++) {
			for (int i = 1; i+len-1 <= n; i++) {
				int j = i+len-1;
				dp[i][j][0] = Math.min(dp[i+1][j][0] + count(i, i+1, i+1, j, n), 
						dp[i+1][j][1] + count(i, j, i+1, j, n));
				dp[i][j][1] = Math.min(dp[i][j-1][0] + count(i, j, i, j-1, n),
						dp[i][j-1][1] + count(j-1, j, i, j-1, n));
			}
		}
		System.out.println(Math.min(dp[1][n][0], dp[1][n][1]));
	}
	public static int count(int x, int y, int l, int r, int n) {
		return (po[y]-po[x]) * (sum[n]-sum[r]+sum[l-1]);
	}
}

<think>好的,我现在要解决用户的问题,他想找平台上于C语言瓷砖铺设问题的代码解答。首先,我需要明确用户的具体需求。他提到了“ C语言 瓷砖铺设 题目 解法 代码”,所以需要找到上的对应题目,并提供C语言的解法。 首先,我应该回忆或者查找上的相题目。个知名的编程题库平台,题目通常有编号或者具体名称。用户提到的“瓷砖铺设”可能对应多个题目,比如铺瓷砖问题,可能涉及动态规划或者递推方法。比如,用户提供的参考引用中提到递推思想,类似数字三角形的问题,可能题目是要求用某种方式铺瓷砖,计算最大价值或方案数。 接下来,我需要确定题目的具体编号或完整名称。比如,常见的铺瓷砖问题有P1220 路灯,但可能不是。另个可能是P1002 过河卒,但也不太对。或者可能是更基础的题目,如铺瓷砖问题的变种,比如用1×2的瓷砖铺满2×n的区域,这类问题通常用斐波那契数列递推解决。或者可能是类似于动态规划中的铺砖问题,比如在个有障碍的网格中用瓷砖覆盖,求方案数。 用户提供的参考内容中提到了递推思想,解法类似于数字三角形,从底层倒推最大值。这可能对应个类似数字三角形的题目,但结合了瓷砖铺设的情境。例如,每个位置有瓷砖,选择路径使得总和最大,这可能类似于数字三角形问题,但用户需要的是瓷砖铺设的具体问题,可能需要不同的解法。 不过,用户提到参考中的例1是铺瓷砖,而引用中的内容是于递推的算法分析,可能用户需要的是类似数字三角形问题的瓷砖铺设版本。比如,题目可能是在个二维网格中铺瓷砖,每个瓷砖有定的价值,求最大总和。或者题目可能是在给定条件下铺瓷砖,计算方案数。 由于用户明确提到平台,我需要查找是否有相题目。比如,题目编号可能为P1008或类似的。或者搜索题单中的铺瓷砖问题。例如,搜索“ 铺瓷砖 C语言”,可能会找到对应的题目。 假设题目是类似于用1×2的瓷砖铺满2×n的地板,求方案数,这是个经典的递推问题,递推式为斐波那契数列。比如,当n=1时,1种;n=2时,2种;n=3时,3种,以此类推。这种情况下,C语言的解法可以用递推或递归,但递归效率低,所以通常用递推。 如果题目是这种情况,那么代码的大致思路是初始化个数组,dp[0]=1,dp[1]=1,然后从2到n,dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。但需要确认题目具体要求。 但用户提供的参考内容中的算法分析提到从顶层到底层选择路径,这与数字三角形问题类似,可能题目是类似这样的结构,但涉及瓷砖铺设。例如,每个位置有个瓷砖,可以向左或向右铺,求最大总和。这种情况下,可能需要动态规划解法,从下往上递推。 例如,题目可能类似于:有个由瓷砖组成的三角形,每块瓷砖有个数值,从顶部出发,每次只能向下或向右下移动,求到底层的最大路径和。这种情况下,递推公式为a[i][j] += max(a[i+1][j], a[i+1][j+1]),然后a[1][1]就是答案。 但用户的问题是于瓷砖铺设的,可能题目是在某个网格中用特定瓷砖铺,求某种条件下的最大值或方案数。需要更具体的信息,但用户可能无法提供更多细节,所以可能需要根据常见问题推断。 假设题目是求用1×2瓷砖铺满2×n区域的方案数,那么C语言代码可以如下: #include <stdio.h> int main() { int n, i; scanf("%d", &n); int dp[n+1]; dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (i = 2; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; } printf("%d", dp[n]); return 0; } 但需要确认题目是否为此题。如果题目是其他类型,比如铺m×n的区域,可能需要状态压缩动态规划,但C语言实现可能较复杂。 另外,用户提供的参考中提到递推思想,可能题目与路径选择有,类似数字三角形,但瓷砖可能代表不同的路径价值,需要选择路径使得总和最大。例如,每个瓷砖位置有个数值,只能向下或向右下走,求最大总和。 这种情况下,代码可能需要读取二维数组,从下往上计算每个位置的最大值。例如: #include <stdio.h> #define MAX 100 int main() { int n, i, j; int a[MAX][MAX]; scanf("%d", &n); for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j <= i; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); } } for (i = n-2; i >= 0; i--) { for (j = 0; j <= i; j++) { a[i][j] += (a[i+1][j] > a[i+1][j+1]) ? a[i+1][j] : a[i+1][j+1]; } } printf("%d", a[0][0]); return 0; } 但这是数字三角形的解法,可能用户的问题类似,但应用场景是瓷砖铺设。因此,需要明确题目描述。 由于用户提供的参考中的例1是铺瓷砖,而引用中的算法分析是于递推的,可能用户的问题确实是类似数字三角形但以瓷砖铺设的情境呈现。因此,可能正确的解法是上述动态规划方法,但需要根据题目调整变量名或处理方式。 但用户需要的是上的具体题目解答,所以可能我需要提供该题的正确题号和对应C语言代码。由于我无法直接访问网络,我需要依靠记忆或已知信息。例如,的P1002过河卒,但那是不同的题目。或者P1057 传球游戏,可能也不是。 或者,可能题目是P1216 [USACO1.5]数字三角形 Number Triangles,这确实使用上述动态规划方法,但题目名称不涉及瓷砖。如果用户混淆了题目名称,可能实际是数字三角形问题,但用户误称为瓷砖铺设。或者存在其他题目。 如果用户的问题确实是铺瓷砖,例如在个矩形区域中铺瓷砖,求方案数,那么可能需要不同的方法。例如,用状态压缩DP处理铺砖问题,其中每行的状态用二进制表示,然后递推。 例如,POJ 2411 Mondriaan's Dream 是个经典铺砖问题,求用1×2的砖铺满m×n的矩形的方案数。可能有类似的题目,比如P2285。 对于这种问题,C语言的代码可能较为复杂,使用状态压缩DP。例如: #include <stdio.h> #include <string.h> long long dp[12][1<<11]; int n, m; void dfs(int i, int j, int state, int next) { if (j == n) { dp[i+1][next] += dp[i][state]; return; } if ((state & (1<<j)) == 0) { dfs(i, j+1, state, next | (1<<j)); // 竖放 if (j < n-1 && (state & (1<<(j+1))) == 0) { dfs(i, j+2, state, next); // 横放 } } else { dfs(i, j+1, state, next); } } int main() { scanf("%d%d", &m, &n); memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; for (int i = 0; i < m; i++) { for (int state = 0; state < (1<<n); state++) { if (dp[i][state]) { dfs(i, 0, state, 0); } } } printf("%lld\n", dp[m][0]); return 0; } 但这类问题对于C语言来说可能需要处理位运算和递归,复杂度较高。用户可能需要的是这种类型的代码,但需要确认题目具体要求。 由于用户的问题中提到“瓷砖铺设”,而引用中的例子是递推,可能题目是类似于数字三角形的瓷砖铺设,即每个位置有瓷砖,选择路径使总和最大,那么代码应如数字三角形的解法。或者,用户的问题可能更简单,如铺2×n的瓷砖,用斐波那契递推。 总结来说,用户可能需要两种类型的代码:种是简单的递推(如斐波那契)解决2×n铺砖,另种是动态规划解决数字三角形式的瓷砖路径问题。需要进步分析。 根据用户提供的引用中的算法分析,提到从顶层出发,选择路径的最大值,这与数字三角形问题致,可能用户的问题实际上是数字三角形问题,但被示例称为铺瓷砖。例如,引用中的例1铺瓷砖可能是个不同的题目,但用户可能混淆了题目名称。 因此,可能正确的做法是提供数字三角形问题的C语言代码,并解释递推方法。或者,如果确实存在铺瓷砖的类似题目,可能需要调整代码。 但考虑到用户明确要求瓷砖铺设的问题,而可能有相题目,我需要假设题目是类似于用递推方法解决瓷砖铺设的最大路径和,类似于数字三角形,但题目描述不同。 因此,最终的代码可能类似于数字三角形的解法,但变量名或问题描述调整为瓷砖铺设。例如,每个瓷砖有个值,从顶层到底层选择路径,求最大和。 综上,我需要给出对应的C语言代码,使用递推方法,从下往上计算每个位置的最大值,并输出结果。同时,提供问题描述和解法分析,确保用户理解。</think>### 瓷砖铺设问题解法(C语言) #### 题目分析 假设题目为**数字三角形模型的瓷砖铺设问题**:在由瓷砖组成的三角形阵列中,从顶层出发,每次只能向正下方或右下方移动,求经过瓷砖数值之和的最大值[^1]。 #### 算法思路 采用倒推法动态规划: $$a[i][j] = \text{max}(a[i+1][j], a[i+1][j+1]) + a[i][j]$$ 从倒数第二层开始向上递推,最终顶层数值即为最大路径和。 #### C语言代码实现 ```c #include <stdio.h> #define MAX_N 100 int main() { int n; int a[MAX_N][MAX_N]; // 输入数据 scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j <= i; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); } } // 动态规划递推 for (int i = n-2; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j <= i; j++) { a[i][j] += (a[i+1][j] > a[i+1][j+1]) ? a[i+1][j] : a[i+1][j+1]; } } // 输出结果 printf("%d", a[0][0]); return 0; } ``` #### 代码说明 1. **输入处理**:读取层数`n`和每层瓷砖数值 2. **倒序递推**:从倒数第二层开始,每个位置累加下方两条路径的较大值 3. **结果输出**:最终顶层数值即为所求最大值 #### 测试样例 输入: ``` 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 ``` 输出: ``` 30 ```
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