DeepLearning:三、神经网络-优快云博客

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生物神经元 $^{[2]}$

这里写图片描述
　　　神经系统的基本结构和功能单位是神经细胞，即神经元(neurons)。无脊椎动物和脊椎动物的神经元形态相似，都是由细胞体和从细胞延伸的突起所组成。神经元之间通过突触传递信息，其中化学突触的突出前膜释放的是神经递质（neurotransimitters），它进入突触间隙后，运动至突触后膜，与特异性受体结合引起突触后神经元的兴奋或抑制。因此，神经递质起着神经调节的作用，它是神经元合成的化学物质，起着传导信息的作用。而神经网络的结构与生物神经的结构十分的相似。

神经网络概述

　　　以监督学习为例，假设我们有训练样本集 $(x(^ i),y(^ i))$ ，那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型 $h_{W,b}(x)$ ，它具有参数 $W, b$ ，可以以此参数来拟合我们的数据。

　　　为了描述神经网络，我们先从最简单的神经网络讲起，这个神经网络仅由一个“神经元”构成，以下即是这个“神经元”的图示（有没有感觉与上面）：

　　　这个“神经元”是一个以

x1,x2,x3 $x_1, x_2, x_3$ 及截距

+1 $+1$ 为输入值的运算单元，其输出为

hW,b(x)=f(WTx)=f(∑3i=1Wixi+b) $h_{W,b}(x) = f(W^Tx) = f(\sum_{i=1}^3 W_{i}x_i +b)$ ，其中函数

f:R↦R $f : \Re \mapsto \Re$ 被称为“激活函数”。在本教程中，我们选用sigmoid函数作为激活函数

f(⋅) $f(\cdot)$
$这里写图片描述$

　　　可以看出，这个单一“神经元”的输入－输出映射关系其实就是一个逻辑回归（logistic regression）。

　　　这个教程中采用sigmoid函数，但是也有其他激活函数可以选择，这里列出部分：

双曲正切函数(tanh), $\tanh(z)$ 函数是sigmoid函数的一种变体，它的取值范围为 $[-1,1]$ ，而不是sigmoid函数的 $[0,1]$ 。：

$这里写图片描述$
ReLu，这个应用的比较多，效果比较好。DeepLearning中大部分的案例都是使用这个激活函数的。（下图的蓝色部分）

$max (0, x)$ $\max(0,x)$
Softplus，Softplus函数是Logistic-Sigmoid函数原函数。可以看作是强制非负校正函数 $max(0,x)$ 平滑版本。(下图中绿色部分线条）

$S o f t p l u s (x) = l o g (1 + e x)$ $Softplus(x)=log(1+e^{x})$

　　　注意，与其它地方（包括OpenClassroom公开课以及斯坦福大学CS229课程）不同的是，这里我们不再令 \textstyle x_0=1 。取而代之，我们用单独的参数 \textstyle b 来表示截距。

神经网络模型

　　　所谓神经网络就是将许多个单一“神经元”联结在一起，这样，一个“神经元”的输出就可以是另一个“神经元”的输入。例如，下图就是一个简单的神经网络：
这里写图片描述

　　　我们使用圆圈来表示神经网络的输入，标上“ $+1$ ”的圆圈被称为偏置节点，也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做输入层，最右的一层叫做输出层（本例中，输出层只有一个节点）。中间所有节点组成的一层叫做隐藏层，因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到，以上神经网络的例子中有3个输入单元（偏置单元不计在内），3个隐藏单元及一个输出单元。

　　　我们用 ${n}_l$ 来表示网络的层数，本例中 $n_l=3$ ，我们将第 $l$ 层记为 $L_l$ ，于是 $L_1$ 是输入层，输出层是 $L_{n_l}$ 。本例神经网络有参数 $(W,b) = (W^{(1)}, b^{(1)}, W^{(2)}, b^{(2)})$ ，其中 $W^{(l)}_{ij}$ （下面的式子中用到）是第 $l$ 层第 $j$ 单元与第 $l+1$ 层第 $i$ 单元之间的联接参数（其实就是连接线上的权重，注意标号顺序）， $b^{(l)}_i$ 是第 $l+1$ 层第 $i$ 单元的偏置项。因此在本例中， $W^{(1)} \in \Re^{3\times 3}$ ， $W^{(2)} \in \Re^{1\times 3}$ 。注意，没有其他单元连向偏置单元(即偏置单元没有输入)，因为它们总是输出 $+1$ 。同时，我们用 $s_l$ 表示第 $l$ 层的节点数（偏置单元不计在内）。

　　　我们用 $a^{(l)}_i$ 表示第 $l$ 层第 $i$ 单元的激活值（输出值）。当 $l=1$ 时， $a^{(1)}_i = x_i$ ，也就是第 $i$ 个输入值（输入值的第 $i$ 个特征）。对于给定参数集合 $W,b$ ，我们的神经网络就可以按照函数 $h_{W,b}(x)$ 来计算输出结果。本例神经网络的计算步骤如下：

$这里写图片描述$

　　　我们用 $z^{(l)}_i$ 表示第 $l$ 层第 $i$ 单元输入加权和（包括偏置单元），比如，

$这里写图片描述$

　　　这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数 $f(\cdot)$ 扩展为用向量（分量的形式）来表示，即 $f([z_1, z_2, z_3]) = [f(z_1), f(z_2), f(z_3)]$ ，那么，上面的等式可以更简洁地表示为：

　　　我们将上面的计算步骤叫作前向传播。回想一下，之前我们用 $a^{(1)} = x$ 表示输入层的激活值，那么给定第 $l$ 层的激活值 $a^{(l)}$ 后，第 $l+1$ 层的激活值 $a^{(l+1)}$ 就可以按照下面步骤计算得到：

　　　将参数矩阵化，使用矩阵－向量运算方式，我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。

　　　目前为止，我们讨论了一种神经网络，我们也可以构建另一种结构的神经网络（这里结构指的是神经元之间的联接模式），也就是包含多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是 $n_l$ 层的神经网络，第 $1$ 层是输入层，第 $n_l$ 层是输出层，中间的每个层 $l$ 与层 $l+1$ 紧密相联。这种模式下，要计算神经网络的输出结果，我们可以按照之前描述的等式，按部就班，进行前向传播，逐一计算第 $L_2$ 层的所有激活值，然后是第 $L_3$ 层的激活值，以此类推，直到第 $L_{n_l}$ 层。这是一个前馈神经网络的例子，因为这种联接图没有闭环或回路。

　　　神经网络也可以有多个输出单元。比如，下面的神经网络有两层隐藏层： $L_2$ 及 $L_3$ ，输出层 $L_4$ 有两个输出单元。

　　　要求解这样的神经网络，需要样本集 $(x^{(i)}, y^{(i)})$ ，其中 $y^{(i)} \in \Re^2$ 。如果你想预测的输出是多个的，那这种神经网络很适用。（比如，在医疗诊断应用中，患者的体征指标就可以作为向量的输入值，而不同的输出值 $y_i$ 可以表示不同的疾病存在与否。）