算法：堆排序

1、简介

　　堆排序，是一种选择排序，时间复杂度是$O(nlg(n))$,具有空间原址性（任何时候都只需要常数个额外的元素空间存储临时数据）。同时，堆引入了另一种算法设计技巧：“堆”数据结构。
　　（二叉）堆是一个数组，被看成一个近似的完全二叉树。每一个节点对应数组中的一个元素，除底层外，该树为完全充满的二叉树。任何一非叶节点满足性质：
　　$Key_i<=Key_{2i+1} 且 Key_i <= Key_{2i+2 }$　　大顶堆
或者$Key_i>=Key_{2i+1}且Key_i >= Key_{2i+2}$　　小顶堆
　　矩阵$A=[16，14， 10 ，8 ，7， 9， 3， 2， 4 ，1]$堆的表示如下（注：图片来自《算法导论》）
　　

2、调整堆

　　按常理说，应该怎样建堆，但是仔细对比，发现堆算法的核心就是保持这个堆是大顶堆（小顶堆）。建堆就是使一个堆（数组）调整成大顶堆（小顶堆），堆的排序算法也是需要不停的调整堆的。维护对通过让$A[i]$的值在最大堆（小顶堆）中“逐级下降”，从而使得以下标$i$为根节点的子树重新遵循大顶堆（小顶堆）的性质。
　　
　　算法：
　　1、从A[i]、A[2i]和A[2i+1]中选取最大（最小）的，下标存储在largest中。
　　2、如果A[i]是最大的，那么以i为根结点的子树已经是最大堆，程序结束。
　　3、否则，最大元素是i的某个孩子借点，则交换A[i]和A[largest]的值。子树又有可能违反大顶堆（小顶堆）的性质，递归调用maxHeapify.

void swap(int* M, int i, int j){
    //交换向量中的元素
    int temp;
    temp = M[i];
    M[i] = M[j];
    M[j] = temp;
}

//A[i]、A[2i]和A[2i+1]中选取最大
void maxHeapify(int* M, int i, int length){
    int l = 2 * i;  //左子树下标
    int r = 2 * i + 1;//右子树下标
    int largest;

    if(l <= length && M[l]>M[i]){
        largest = l;
    }
    else{
        largest = i;
    }
    if(r <= length && M[r] > M[largest]){
        largest = r;
    }

    //交换A[i]和A[largest]的值,递归调用maxHeapify.
    if(largest != i){
        swap(M, i, largest);
        maxHeapify(M, largest, length);
    }
}

3、建堆

　　建堆，使用的是自底向上的方法，利用上述维护堆程序maxHeapify把一个大小为length的数组转化为最大堆。算法是从最后一个堆（有可能只要两个结点，且根节点下标为$i_1=length/2$）开始调整，调整倒数第二个堆，……，一直往上调整（第j次的根节点下标为$i_j = length/2 - j + 1$，直到根节点。
　　

void buildMaxHeap(int* M, int length){
    int i;
    for(i = length/2; i >= 0; --i){
        maxHeapify(M, i, length-1);
    }
}

4、堆排序算法

　　初始时，先利用建堆将数组建成大顶堆，将最大的值，即A[0]输出，并将堆中最后一个数放到A[0]中，调整堆使其再次变为大顶堆。直到该堆为空（下面算法中为堆的长度为0）.
　　
　　
　　

void heapSort(int* M, int length){
    buildMaxHeap(M, length);
    int i;
    for(i = length; i > 0; --i){
        swap(M, 0, i);
        --length;
        maxHeapify(M, 1, length-1);
    }

}

5、测试

#include "stdio.h"
void show(int M[], int length){
    int i;
    for(i = 0; i < length; ++i){
        printf("%d ", M[i]);
    }
}

//将上述代码粘贴在这里。

void main(){
    int A[4] = { 2, 4, 7, 1};
    int length = sizeof(A) / sizeof(A[0]);
    //测试建堆
    show(A, length);
    printf("\n");
    buildMaxHeap(A, length);
    show(A, length);
    printf("\n");

    //测试堆排序
    show(A, length);
    printf("\n");
    heapSort(A, length);
    show(A, length);
    printf("\n");
}

参考文献：
《算法导论》
《C++Primer》
http://blog.youkuaiyun.com/morewindows/article/details/6709644/
http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/10/06/2199741.html