离散特殊名总集
ps:ps:ps:不补基础,只是为了让你看得懂题,ctrl+fctrl + fctrl+f方便查找.
蕴含等值式: A→B⇔¬A∨BA\rightarrow B\Leftrightarrow\neg A\vee BA→B⇔¬A∨B
等价等值式: A↔B↔(A→B)∧(B→A)A\leftrightarrow B\leftrightarrow (A\rightarrow B)\wedge(B\rightarrow A)A↔B↔(A→B)∧(B→A)
文字: 命题变项及其否定统称作文字.
简单析取式: 仅由有限个文字构成的析取式.
简单合取式: 仅由有限个文字构成的合区式.
极小项(极大项): ① 简单合取式(简单析取式) ② 命题变项及其否定恰好且仅出现一次 ③ 命题变项按字典序排序.
主析取范式(主合取范式): 每个项都是极小项(极大项).
eg: 主析取范式 (p∧q)∨(¬p∧¬q)(p\wedge q)\vee (\neg p \wedge \neg q)(p∧q)∨(¬p∧¬q)
主合取范式 (p∨q)∧(¬p∨¬q)(p\vee q)\wedge (\neg p\vee \neg q)(p∨q)∧(¬p∨¬q)
ps: 如何手撕极大值(极小值)的成真赋值 从000......0000... ...0000......0开始加一 , 找 极小真,极大假.*
联结完备集: 任何真值函数都能用完备集中的连接词构成.
归谬法: 结论的否定当作结论.
个体词: 逻辑中的主语.
∀xA和∃xA:\forall xA 和 \exists xA:∀xA和∃xA: 称xxx为 指导变元 ,AAA为量词的 辖域 .
约束出现 和 自由出现: 在 ∀xA和∃xA\forall xA 和 \exists xA∀xA和∃xA 的辖域中,xxx的所有出现都称为约束出现,AAA中不是约束出现的其它变项均称为自由出现.
闭式: 设AAA为闭式,则AAA中不含自由出现的个体变项.
等值式: 即 A⇔BA\Leftrightarrow BA⇔B, 表明A↔BA\leftrightarrow BA↔B 是永真式.
前束范式: ① 量词全在公式最前面 ② 量词的辖域范围到公式最后 ③ 不可以存在¬在最前面\neg 在最前面¬在最前面
元素: 这玩意没啥好定义的.
幂集 (P(A))(P(A))(P(A)): 由AAA中元素构成的子集的集合,个数是2n.
ps: 如果A中存在元素 ∅\varnothing∅,那么P(A)P(A)P(A)中存在一个元素{∅}\{\varnothing \}{∅}.
对称差 (A⨁B)(A\bigoplus B)(A⨁B) : (A−B)∪(B−A)(A-B)\cup (B-A)(A−B)∪(B−A)
绝对补集 (∼A)(\sim A)(∼A): E−A={x∈E∧x∉A}E-A=\{x\in E\wedge x\notin A \}E−A={x∈E∧x∈/A}
广义并 (∪A):(\cup A):(∪A): {x∣∃z(z∈A∧x∈z)}\{x|\exists z(z\in A\wedge x\in z)\}{x∣∃z(z∈A∧x∈z)}
广义交 (∩B):(\cap B):(∩B): {x∣∀z(z∈A→x∈z)}\{x|\forall z(z\in A\rightarrow x\in z)\}{x∣∀z(z∈A→x∈z)}
ps: AAA要为集合的集合.
包含排斥原理: ∣A1‾∩A2‾∩...∩An‾∣=∣S∣−∑∣Ai∣+∑∣Ai∩Aj∣...+(−1)n∑∣A1∩A2∩...An∣|\overline{A{_1}}\cap\overline{A{_2}}\cap ...\cap \overline{A{_n}}|=|S|-\sum |A{_i}| +\sum|A{_i}\cap A{_j}|...+(-1){^n}\sum|A{_1\cap A{_2}\cap ...A{_n}}|∣A1∩A2∩...∩An∣=∣S∣−∑∣Ai∣+∑∣Ai∩Aj∣...+(−1)n∑∣A1∩A2∩...An∣.
ps:ps:ps: 某一项不满足条件的总数 (概率
欧拉函数: 包含排斥原理计算,n(1−1p1)(1−1p2)...(1−1pk)n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p{_2}})...(1-\frac{1}{p_k})n(1−p11)(1−p21)...(1−pk1)
有序对(序偶): map.
笛卡尔积: 给定两个集合A,BA,BA,B,记作A×BA\times BA×B.
二元关系: ① 集合非空,且它的元素都是有序对 ② 集合是空集.
从AAA到BBB的二元关系: 笛卡尔积A×BA\times BA×B的任何子集.(A为前键.
空关系:∅\varnothing∅.
全域关系 (EA)(E{_A})(EA): 自身与自身的笛卡尔积,记作A×AA\times AA×A.
恒等关系 (IA)(I{_A})(IA): {<x,x>∣x∈A}\{<x,x>|x\in A\}{<x,x>∣x∈A}.
关系矩阵: 略.
关系图: 无向图.
定义域 (domR):(domR):(domR): 有序对的前键取值.
值域 (ranR):(ranR):(ranR): 有序对的后键取值.
域 (fldR):(fldR):(fldR): 前键的取值加上后键的取值.
逆关系 (R−1):(R^{-1}):(R−1): 前键后键调换位置.
右复合 (F∘G):(F\circ G):(F∘G): 走步,或理解为传递,若FFF中存在<x,t><x,t><x,t>,GGG中存在<t,y><t,y><t,y>,则结果存在<x,y><x,y><x,y>.
限制 (B↾A):(B\upharpoonright A):(B↾A): 意为BBB在AAA上的限制,二元关系在BBB中,且第一个元素(前键)在AAA的前键出现过.
像 (B[A])(B[A])(B[A]): 意为A在B下的像,即BBB在AAA上的限制对应的值域.
nnn次幂 (Rn)(R^{n})(Rn): 做nnn次右复合.
重点
自反性: 二元关系RRR的定义域AAA中,所有AAA中元素都存在,且前键等于后键. 记作 ∀x(x∈A→<x,x>∈R)\forall x(x\in A\rightarrow <x,x>\in R)∀x(x∈A→<x,x>∈R).那么我们称RRR满足自反性.
反自反性: 二元关系RRR的定义域AAA中,所有AAA中元素前键等于后键都不存在. 记作 ∀x(x∈A→<x,x>∉R)\forall x(x\in A\rightarrow <x,x>\notin R)∀x(x∈A→<x,x>∈/R).那么我们称RRR满足反自反性.
ps:ps:ps:一个二元关系可能同时不是自反关系和反自反关系.但是不能同时是自反又是反自反.
对称性: 二元关系RRR的定义域AAA中,存在来回往复的边.即若存在<x,y><x,y><x,y>那么一定存在<y,x><y,x><y,x>. 记作∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R)\forall x\forall y(x,y\in A\wedge <x,y>\in R\rightarrow <y,x>\in R)∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R).
反自反性: 二元关系RRR的定义域AAA中,要么不存在来回往复的边,要么来回往复发边是自环. 记作∧x∧y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)\wedge x\wedge y(x,y\in A\wedge <x,y>\in R\wedge <y,x>\in R\rightarrow x=y)∧x∧y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y).
ps:ps:ps:一个二元关系可能既满足对称关系又满足反对称关系.但是不能既不是对称关系又不是反对称关系.
传递性: 跳步.如果存在<x,t>,<t,y><x,t>,<t,y><x,t>,<t,y>,那么存在<x,y><x,y><x,y>.
自反闭包 (r(R))(r(R))(r(R)): 添加最少的项,使得该二元关系满足自反性.
对称闭包 (s(R))(s(R))(s(R)): 添加最少的项,使得该二元关系满足对称性.
传递闭包 (t(R))(t(R))(t(R)): 添加最少的项,使得该二元关系满足传递性.
等价关系: RRR在AAA上的等价关系 (A为集合),xxx与yyy都在集合AAA中,且满足自反性,对称性,传递性的二元关系,记作 xxx~yyy.
等价类 ([x]R)([x]_{R})([x]R): 记RRR为A上的等价类: ① 是一个集合 ② 该集合在同一个连通图中.
商集 (A/R)(A/R)(A/R): 所有等价类的集合.
ps: 因为是等价类的集合,而等价类是集合,所以商集是集合的集合.
AAA的子集族 π\piπ: ① ∅∉π\varnothing \notin \pi∅∈/π ② 如何两个子集合不相等,那么他们不含有相同的元素 ③ ∪π=A\cup \pi=A∪π=A.
ps: 子集族同样为集合的集合.
偏序关系: RRR在AAA上的等价关系 (A为集合),xxx与yyy都在集合AAA中,且满足自反性,反对称性,传递性的二元关系.记作 x≼yx\preccurlyeq yx≼y.
全序关系: 在偏序关系的前提条件下∀x∀y\forall x\forall y∀x∀y都满足定义的二元关系.
ps: 这里有点难理解,虽然我们在离散中经常写<x,y><x,y><x,y>来表示二元关系,但是实际上还是要有一个定义规则来表示的(f(x)=yf(x)=yf(x)=y).
偏序集: 由偏序关系构成的集合,称为偏序集.记作 <x,≼><x,\preccurlyeq><x,≼>.(最大的偏序关系).
哈斯图: 用来表示偏序关系的图.
最小元: 单独的一棵树的最"小"公共祖先.
最大元: 单独的一棵树的最"大"公共子孙.
极小元: 每棵树的根节点. (一棵树可能存在多个根节点.
极大元: 每棵树的子叶结点.
上界: 相较于树AAA的子树BBB,AAA中能被称为BBB中最大元的被称为上界.
下界: 相较于树AAA的子树BBB,AAA中能被称为BBB中最小元的被称为上界.
ps:ps:ps: 补全树至该结点.
上确界: 上界的最小元.
下确界: 下界的最大元.
函数: 多对一,一对一的映射.
像: 由前键推后键.
完全原项: 由后键推前键.
ps:ps:ps: 像的完全原项不一定得到原值.
满射: 可以多对一,但是必须集合A,BA,BA,B的元素都存在.
单射: 可以有BBB中元素没有对应的前键,但是只能一对一.
双射 (一一映射): 满射+++射单.
恒等函数: f(x)=xf(x) = xf(x)=x.
反函数: 前键后键调换位置,再使得x→y,y→xx\rightarrow y,y\rightarrow xx→y,y→x.
等势: 能够成双射函数的两个集合等势.
集合的势: 又称基数,大小为集合中元素的个数.
无序积 ((a,b))((a,b))((a,b)): 没有方向,单纯的连接关系.
争对此<V,E><V,E><V,E>关系
VVV: 顶点集. EEE: 边集.
图: 无向图与有向图.
阶: 顶点的个数,有几个顶点,就称为几阶图.
零图: 没有边,只有点的图.
平凡图: 整个图只有单单一个点.
空图: 顶点集为空集的图. (我不理解
标定图: 给每一个顶点,每一条边都给定一个特定的符号标识,且唯一标识.
基图: 针对有向图,将有向边全部转换成无向边得到的无向图.
ps:ps:ps:删去重复的边.
关联次数: ① 两个不同的点与一条边相连,则称这两个点与该边的关联次数是1 ② 点与边构成自环,则称该点与这条边的关联次数是2 ③ 点与边不直接相连,则称他们的关联次数是0.
相临: 两个点相临,位于一条边的两端. 两条边相邻,两条边都连接同一个点.
孤立点: 没有边关临的点.
邻域: vvv的邻域uuu,存在一条连接vvv和uuu的边的点集. (u≠vu\neq vu=v.
闭邻域: 邻域加上自身的点集.
关联集: 与vvv相连的边集.
后继元集: 点vvv后键的点集.
先驱元集: 点vvv前键的点集.
平行边: 关联一对顶点的无向边多余一条,那么这几条边便是平行边.
重数: 平行边的条数.
多重图: 含平行边的图.
简单图: 不含平行边,且不含自环的图.
度数: vvv作为边的端点的次数.
出度: 作为起始点的次数.
入度: 作为终点的次数.
最大度 andandand 最小度: 符号记作: 最大度Δ(D)\Delta(D)Δ(D) , 最小度δ(D)\delta(D)δ(D) , 最大出度Δ+(D)\Delta^{+}(D)Δ+(D) , 最小出度δ+(D)\delta^{+}(D)δ+(D) , 最大入读Δ−(D)\Delta^{-}(D)Δ−(D) , 最小入读δ−(D)\delta^{-}(D)δ−(D).
悬挂顶点: 度数为1的顶点.
悬挂边: 与悬挂顶点相连接的边为悬挂边.
可图化: 度相加是偶数. ps:ps:ps: 可简单图化:最大的度为n−1n-1n−1.
同构: 大致是度数错排,但也有错排不是同构.最直接的就是看能不能化成相同模样.
nnn阶无向完全图: 任意一个点都与其余n−1n-1n−1个点相连接.
nnn阶有向完全图: 任意一个点都存在到其余n−1n-1n−1个点的来回路径.
nnn阶竞技图: 基图是nnn阶无向完全图的nnn阶有向图.
割点: 去掉一个点,能分成两个或多个图.
点割集: 去掉几个个点,能分成两个或多个图,并且任意的子集都不能分成多个图.
割集: 去掉一条边,能分成两个或多个图.
边割集: 去掉几条边,能分成两个或多个图,并且任意的子集都不能分成多个图.
连通度: 最小的点割集的大小.
边连通度: 最小的边割集的大小.
可达: viv_{i}vi可达vjv_{j}vj,表示存在viv_{i}vi到vjv_{j}vj的通路.
−−over.--over.−−over.