离散特殊名总集

离散特殊名总集

$ps:$不补基础,只是为了让你看得懂题,$ctrl+f$方便查找.

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蕴含等值式: $A\to B\iff \neg A\vee B$
等价等值式: $A\leftrightarrow B\leftrightarrow (A\to B)\wedge (B\to A)$

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文字: 命题变项及其否定统称作文字.
简单析取式: 仅由有限个文字构成的析取式.
简单合取式: 仅由有限个文字构成的合区式.
极小项(极大项): ① 简单合取式(简单析取式) ② 命题变项及其否定恰好且仅出现一次 ③ 命题变项按字典序排序.
主析取范式(主合取范式): 每个项都是极小项(极大项).
 eg: 主析取范式 $(p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
    主合取范式 $(p\vee q)\wedge (\neg p\vee \neg q)$
 ps: 如何手撕极大值(极小值)的成真赋值 从$000......0$开始加一 , 找 极小真,极大假.*
联结完备集: 任何真值函数都能用完备集中的连接词构成.

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归谬法: 结论的否定当作结论.
个体词: 逻辑中的主语.
$\forall xA和\exists xA:$ 称$x$为 指导变元 ,$A$为量词的 辖域 .
约束出现 和 自由出现: 在 $\forall xA和\exists xA$ 的辖域中,$x$的所有出现都称为约束出现,$A$中不是约束出现的其它变项均称为自由出现.
闭式: 设$A$为闭式,则$A$中不含自由出现的个体变项.
等值式: 即 $A\iff B$, 表明$A\leftrightarrow B$ 是永真式.

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前束范式: ① 量词全在公式最前面 ② 量词的辖域范围到公式最后 ③ 不可以存在$\neg 在最前面$
元素: 这玩意没啥好定义的.
幂集 $(P(A))$: 由$A$中元素构成的子集的集合,个数是2ⁿ.
 ps: 如果A中存在元素 $\varnothing$,那么$P(A)$中存在一个元素{∅}\{\varnothing \}{∅}.
对称差 $(A⨁B)$ : $(A-B)\cup (B-A)$
绝对补集 $(\sim A)$: E−A={x∈E∧x∉A}E-A=\{x\in E\wedge x\notin A \}E−A={x∈E∧x∈/​A}
广义并 $(\cup A):$ {x∣∃z(z∈A∧x∈z)}\{x|\exists z(z\in A\wedge x\in z)\}{x∣∃z(z∈A∧x∈z)}
广义交 $(\cap B):$ {x∣∀z(z∈A→x∈z)}\{x|\forall z(z\in A\rightarrow x\in z)\}{x∣∀z(z∈A→x∈z)}
 ps: $A$要为集合的集合.
包含排斥原理: $|\overline{A{}_1}\cap \overline{A{}_2}\cap ...\cap \overline{A{}_n}|=|S|-\sum |A{}_i|+\sum |A{}_i\cap A{}_j|...+(-1){}^n\sum |A{}_1\cap A{}_2\cap ...A{}_n|$.
 $ps:$ 某一项不满足条件的总数 (概率
欧拉函数: 包含排斥原理计算,$n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p{}_2})...(1-\frac{1}{p_k})$

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有序对(序偶): map.
笛卡尔积: 给定两个集合$A,B$,记作$A\times B$.
二元关系: ① 集合非空,且它的元素都是有序对 ② 集合是空集.
从$A$到$B$的二元关系: 笛卡尔积$A\times B$的任何子集.(A为前键.
空关系:$\varnothing$.
全域关系 $(E{}_A)$: 自身与自身的笛卡尔积,记作$A\times A$.
恒等关系 $(I{}_A)$: {<x,x>∣x∈A}\{<x,x>|x\in A\}{<x,x>∣x∈A}.
关系矩阵: 略.
关系图: 无向图.
定义域 $(domR):$ 有序对的前键取值.
值域 $(ranR):$ 有序对的后键取值.
域 $(fldR):$ 前键的取值加上后键的取值.
逆关系 $(R^{-1}):$ 前键后键调换位置.
右复合 $(F\circ G):$ 走步,或理解为传递,若$F$中存在$<x,t>$,$G$中存在$<t,y>$,则结果存在$<x,y>$.
限制 $(B\upharpoonright A):$ 意为$B$在$A$上的限制,二元关系在$B$中,且第一个元素(前键)在$A$的前键出现过.
像 $(B[A])$: 意为A在B下的像,即$B$在$A$上的限制对应的值域.
$n$次幂 $(R^n)$: 做$n$次右复合.
重点
自反性: 二元关系$R$的定义域$A$中,所有$A$中元素都存在,且前键等于后键. 记作 $\forall x(x\in A\to <x,x>\in R)$.那么我们称$R$满足自反性.
反自反性: 二元关系$R$的定义域$A$中,所有$A$中元素前键等于后键都不存在. 记作 $\forall x(x\in A\to <x,x>\notin R)$.那么我们称$R$满足反自反性.
 $ps:$一个二元关系可能同时不是自反关系和反自反关系.但是不能同时是自反又是反自反.
对称性: 二元关系$R$的定义域$A$中,存在来回往复的边.即若存在$<x,y>$那么一定存在$<y,x>$. 记作$\forall x\forall y(x,y\in A\wedge <x,y>\in R\to <y,x>\in R)$.
反自反性: 二元关系$R$的定义域$A$中,要么不存在来回往复的边,要么来回往复发边是自环. 记作$\wedge x\wedge y(x,y\in A\wedge <x,y>\in R\wedge <y,x>\in R\to x=y)$.
 $ps:$一个二元关系可能既满足对称关系又满足反对称关系.但是不能既不是对称关系又不是反对称关系.
传递性: 跳步.如果存在$<x,t>,<t,y>$,那么存在$<x,y>$.
自反闭包 $(r(R))$: 添加最少的项,使得该二元关系满足自反性.
对称闭包 $(s(R))$: 添加最少的项,使得该二元关系满足对称性.
传递闭包 $(t(R))$: 添加最少的项,使得该二元关系满足传递性.
等价关系: $R$在$A$上的等价关系 (A为集合),$x$与$y$都在集合$A$中,且满足自反性,对称性,传递性的二元关系,记作 $x$~$y$.
等价类 $([x{]}_R)$: 记$R$为A上的等价类: ① 是一个集合 ② 该集合在同一个连通图中.
商集 $(A/R)$: 所有等价类的集合.
 ps: 因为是等价类的集合,而等价类是集合,所以商集是集合的集合.
$A$的子集族 $\pi$: ① $\varnothing \notin \pi$ ② 如何两个子集合不相等,那么他们不含有相同的元素 ③ $\cup \pi =A$.
 ps: 子集族同样为集合的集合.
偏序关系: $R$在$A$上的等价关系 (A为集合),$x$与$y$都在集合$A$中,且满足自反性,反对称性,传递性的二元关系.记作 $x\preccurlyeq y$.
全序关系: 在偏序关系的前提条件下$\forall x\forall y$都满足定义的二元关系.
 ps: 这里有点难理解,虽然我们在离散中经常写$<x,y>$来表示二元关系,但是实际上还是要有一个定义规则来表示的($f(x)=y$).
偏序集: 由偏序关系构成的集合,称为偏序集.记作 $<x,\preccurlyeq >$.(最大的偏序关系).
哈斯图: 用来表示偏序关系的图.
最小元: 单独的一棵树的最"小"公共祖先.
最大元: 单独的一棵树的最"大"公共子孙.
极小元: 每棵树的根节点. (一棵树可能存在多个根节点.
极大元: 每棵树的子叶结点.
上界: 相较于树$A$的子树$B$,$A$中能被称为$B$中最大元的被称为上界.
下界: 相较于树$A$的子树$B$,$A$中能被称为$B$中最小元的被称为上界.
 $ps:$ 补全树至该结点.
上确界: 上界的最小元.
下确界: 下界的最大元.

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函数: 多对一,一对一的映射.
像: 由前键推后键.
完全原项: 由后键推前键.
 $ps:$ 像的完全原项不一定得到原值.
满射: 可以多对一,但是必须集合$A,B$的元素都存在.
单射: 可以有$B$中元素没有对应的前键,但是只能一对一.
双射 (一一映射): 满射$+$射单.
恒等函数: $f(x)=x$.
反函数: 前键后键调换位置,再使得$x\to y,y\to x$.
等势: 能够成双射函数的两个集合等势.
集合的势: 又称基数,大小为集合中元素的个数.

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无序积 $((a,b))$: 没有方向,单纯的连接关系.
争对此$<V,E>$关系
$V$: 顶点集. $E$: 边集.
图: 无向图与有向图.
阶: 顶点的个数,有几个顶点,就称为几阶图.
零图: 没有边,只有点的图.
平凡图: 整个图只有单单一个点.
空图: 顶点集为空集的图. (我不理解
标定图: 给每一个顶点,每一条边都给定一个特定的符号标识,且唯一标识.
基图: 针对有向图,将有向边全部转换成无向边得到的无向图.
 $ps:$删去重复的边.
关联次数: ① 两个不同的点与一条边相连,则称这两个点与该边的关联次数是1 ② 点与边构成自环,则称该点与这条边的关联次数是2 ③ 点与边不直接相连,则称他们的关联次数是0.
相临: 两个点相临,位于一条边的两端. 两条边相邻,两条边都连接同一个点.
孤立点: 没有边关临的点.
邻域: $v$的邻域$u$,存在一条连接$v$和$u$的边的点集. ($u\ne v$.
闭邻域: 邻域加上自身的点集.
关联集: 与$v$相连的边集.
后继元集: 点$v$后键的点集.
先驱元集: 点$v$前键的点集.
平行边: 关联一对顶点的无向边多余一条,那么这几条边便是平行边.
重数: 平行边的条数.
多重图: 含平行边的图.
简单图: 不含平行边,且不含自环的图.
度数: $v$作为边的端点的次数.
出度: 作为起始点的次数.
入度: 作为终点的次数.
最大度 $and$ 最小度: 符号记作: 最大度$\Delta (D)$ , 最小度$\delta (D)$ , 最大出度${\Delta }^{+}(D)$ , 最小出度${\delta }^{+}(D)$ , 最大入读${\Delta }^{-}(D)$ , 最小入读${\delta }^{-}(D)$.
悬挂顶点: 度数为1的顶点.
悬挂边: 与悬挂顶点相连接的边为悬挂边.
可图化: 度相加是偶数. $ps:$ 可简单图化:最大的度为$n-1$.
同构: 大致是度数错排,但也有错排不是同构.最直接的就是看能不能化成相同模样.
$n$阶无向完全图: 任意一个点都与其余$n-1$个点相连接.
$n$阶有向完全图: 任意一个点都存在到其余$n-1$个点的来回路径.
$n$阶竞技图: 基图是$n$阶无向完全图的$n$阶有向图.
割点: 去掉一个点,能分成两个或多个图.
点割集: 去掉几个个点,能分成两个或多个图,并且任意的子集都不能分成多个图.
割集: 去掉一条边,能分成两个或多个图.
边割集: 去掉几条边,能分成两个或多个图,并且任意的子集都不能分成多个图.
连通度: 最小的点割集的大小.
边连通度: 最小的边割集的大小.
可达: $v_i$可达$v_j$,表示存在$v_i$到$v_j$的通路.
                                                  $--over.$