OpenCV的中求解线性问题或者最小二乘问题的方法cv::solve

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cv::solve是OpenCV中用于解决线性系统或最小二乘问题的函数，支持LU、CHOLESKY、EIG、SVD和QR等多种分解方法。当左矩阵为非奇异时，DECOMP_LU和DECOMP_CHOLESKY方法返回解决方案；对于过定义或奇异矩阵，可以使用SVD或QR方法找到伪解。DECOMP_NORMAL标志可用于求解正规方程。注意，对于欠定义的单位范数解，应使用cv::SVD::solveZ。函数返回值指示左矩阵是否非奇异。

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# cv::solve-------------------------原文

Solves one or more linear systems or least-squares problems.

 bool solve(const Mat & src1, const Mat & src2, Mat & dst,
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OpenCV的solvePnP函数和Dlib估计头部姿势
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opencv求解非线性方程组
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} // 两个变量 (x 和 y) double calc(const double* x) const override { // x[0] = x, x[1] = y double eq1 = x[0] * x[0] + x[1] * x[1] - 4; // x² + y² - 4 = 0 double eq2 = std::exp(x[0]) + x[1] - 1; // eˣ + y - 1 = 0 // 返回残差的平方和 return eq1 * eq1 + eq2 * eq2; } }; int main() { // 创建优化器 cv::Ptr<cv::MinProblemSolver> solver = cv::MinProblemSolver::create(cv::MinProblemSolver::LEVENBERG_MARQUARDT); // 设置目标函数 cv::Ptr<EquationSystem> func(new EquationSystem); solver->setFunction(func); // 设置初始值 cv::Mat initialX = (cv::Mat_<double>(2, 1) << 1.0, 1.0); // 假设初始值 [1, 1] // 设置优化参数 cv::Ptr<cv::MinProblemSolver::TermCriteria> termcrit = cv::TermCriteria::create( cv::TermCriteria::MAX_ITER + cv::TermCriteria::EPS, 1000, // 最大迭代次数 1e-6 // 精度 ); solver->setTermCriteria(*termcrit); // 求解 cv::Mat solution; double result_value = solver->minimize(initialX, solution); // 输出结果 std::cout << "Solution found: x = " << solution.at<double>(0) << ", y = " << solution.at<double>(1) << std::endl; std::cout << "Residual value: " << result_value << std::endl; // 验证解 double x = solution.at<double>(0); double y = solution.at<double>(1); double eq1 = x*x + y*y - 4; double eq2 = std::exp(x) + y - 1; std::cout << "Equation 1 residual: " << eq1 << std::endl; std::cout << "Equation 2 residual: " << eq2 << std::endl; return 0; } ``` ### 代码解释 1. **目标函数定义**： - 创建一个继承自 `cv::MinProblemSolver::Function` 的类 - `getDims()` 返回变量数量（这里为2） - `calc()` 计算目标函数值（残差的平方和） 2. **优化器设置**： - 使用 Levenberg-Marquardt 算法 (`LEVENBERG_MARQUARDT`) - 设置初始值（靠近真解的初始值可加速收敛） - 设置终止条件（迭代次数和精度要求） 3. **求解过程**： - `minimize()` 方法执行优化 - 返回解向量和残差值 4. **结果验证**： - 将解代入原方程组计算残差 ### 方法2: 使用 Downhill Simplex 方法 当方程组非平滑或Levenberg-Marquardt表现不佳时，可以考虑单纯形法： ```cpp // 将上述代码中的优化器创建部分修改为： cv::Ptr<cv::MinProblemSolver> solver = cv::MinProblemSolver::create(cv::MinProblemSolver::DOWNHILL_SIMPLEX); ``` ### 方法3: 使用梯度下降法（自定义实现） 对于简单问题，可以手动实现梯度下降： ```cpp #include <cmath> // 目标函数（残差平方和） double objective(const cv::Vec2d& vars) { double x = vars[0], y = vars[1]; double eq1 = x*x + y*y - 4; double eq2 = std::exp(x) + y - 1; return eq1*eq1 + eq2*eq2; } // 计算梯度 cv::Vec2d gradient(const cv::Vec2d& vars) { double x = vars[0], y = vars[1]; double eq1 = x*x + y*y - 4; double eq2 = std::exp(x) + y - 1; // 对x的偏导 double dfdx = 2*eq1*2*x + 2*eq2*std::exp(x); // 对y的偏导 double dfdy = 2*eq1*2*y + 2*eq2; return cv::Vec2d(dfdx, dfdy); } cv::Vec2d solveWithGradientDescent(const cv::Vec2d& init, double lr=0.01, int maxIter=10000, double tol=1e-6) { cv::Vec2d x = init; for(int i = 0; i < maxIter; i++) { cv::Vec2d grad = gradient(x); cv::Vec2d newX = x - lr * grad; // 检查收敛 if(cv::norm(newX - x) < tol) break; x = newX; } return x; } ``` ### 通用求解器框架 以下是更健壮的非线性方程组求解器： ```cpp cv::Mat solveNonlinearSystem( const std::vector<std::function<double(const cv::Mat&)>>& equations, const cv::Mat& initialGuess, cv::MinProblemSolver::Types method = cv::MinProblemSolver::LEVENBERG_MARQUARDT) { class EquationsSystem : public cv::MinProblemSolver::Function { public: EquationsSystem(const std::vector<std::function<double(const cv::Mat&)>>& eqs) : eqFunctions(eqs) {} int getDims() const override { return eqFunctions.size(); } double calc(const double* x) const override { cv::Mat vars = cv::Mat(1, getDims(), CV_64F, const_cast<double*>(x)); double residual = 0.0; for(const auto& eq : eqFunctions) { double eqVal = eq(vars); residual += eqVal * eqVal; } return residual; } private: std::vector<std::function<double(const cv::Mat&)>> eqFunctions; }; cv::Ptr<cv::MinProblemSolver> solver = cv::MinProblemSolver::create(method); cv::Ptr<EquationsSystem> func(new EquationsSystem(equations)); solver->setFunction(func); cv::TermCriteria termCrit(cv::TermCriteria::MAX_ITER + cv::TermCriteria::EPS, 1000, 1e-6); solver->setTermCriteria(termCrit); cv::Mat solution; solver->minimize(initialGuess.clone(), solution); return solution; } // 使用示例 int main() { // 定义方程组 std::vector<std::function<double(const cv::Mat&)>> equations = { [](const cv::Mat& vars) { double x = vars.at<double>(0), y = vars.at<double>(1); return x*x + y*y - 4; }, [](const cv::Mat& vars) { double x = vars.at<double>(0), y = vars.at<double>(1); return std::exp(x) + y - 1; } }; // 初始猜测 cv::Mat initialGuess = (cv::Mat_<double>(2, 1) << 1.0, 1.0); // 求解 cv::Mat solution = solveNonlinearSystem(equations, initialGuess); std::cout << "Solution:\n" << solution << std::endl; return 0; } ``` ### 注意事项 1. **初始值选择**：非线性方程组的解可能不唯一，初始值会影响最终收敛结果 2. **收敛性**：复杂方程组可能不收敛，需要调整算法参数 3. **数值稳定性**：对于病态问题，需要特殊处理 4. **精度控制**：合理设置终止条件防止无限迭代 5. **方程组表示**：确保方程正确表示，可先测试单个方程
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