线性基学习

最新推荐文章于 2025-02-05 19:36:51 发布

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今天随手看了一看线性基，感觉似乎不太难

当然我也没有看懂证明，可能就只是因为异或后的组合值域与原来组合的值域相同

所以随便搞一下，进行处理就可以了(雾

建议康康 ljh2000 dalao的博客，似乎讲的很清楚

还有运用方法的总结。

代码更是奇短无比

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=62;j>=0;j--)
	{
    	if(!((a[i]>>j)&1)) continue;         
		if(!p[j]) {p[j]=a[i];break;}                 
    	a[i]^=p[j];
	}
}

在线性基里查询能够异或出的最大值也是十分简单的

for(int i=62;i>=0;i--) 
if((ans^p[i])>ans) 
ans=ans^p[i];

以及 menci dalao的博客，似乎有着证明和更多线性基的延伸

确定要放弃本次机会？

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线性基小结

m0_49959202的博客

07-23

155

文章目录线性基1.算法分析2.模板3.例题 线性基 1.算法分析 线性基的本质是用一个数x的尽可能高位的1来代表x 线性基是向量空间的一组基，通常可以解决有关异或的一些题目。通俗一点的讲法就是由一个集合构造出来的另一个集合，它有以下几个性质： 线性基的元素能相互异或得到原集合的元素的所有相互异或得到的值。 线性基是满足性质 1 的最小的集合。 线性基没有异或和为 0 的子集。 线性基中每个元素的异或方案唯一，也就是说，线性基中不同的异或组合异或出的数都是不一样的。 线性基中每个元素的二进

浅谈线性基

Michael_Li的博客

04-04

1465

线性基

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线性基学习笔记

Kumii

11-27

289

线性基学习笔记

线性基 学习笔记

zcxxn的博客

01-02

1080

线性基（这里只讲异或线性基）就是一个所含数字个数最少的集合，使得原集合中的任意元素都可以用线性基中的若干元素的异或和表示。原集合中的任意元素都可以用线性基中的若干元素的异或和表示（见定义）；线性基中任意数异或和不为0（否则不满足集合大小最小）；以任意顺序枚举原集合中元素，所得集合大小相同；若线性基大小为s，则一共能表示出2s个数；若线性基中存在二进制第iii位为1的数，则该线性基共能表示出2^{s-1}个二进制第i位为1。

异或线性基学习笔记

fushcsdn的博客

12-30

868

本文的线性基指异或线性基。由于作者太菜了本文的语言不会特别规范。线性基简称基，它是一个数的集合，并且每个序列都拥有至少一个线性基。线性基中的几个数异或后不能得到000。线性基中的数在异或后能得到原序列中的所有数。线性基在保证前两个性质时，会使得基内的个数最少。

线性基——详解

w_w_wwwww的博客

02-05

1045

称线性空间的一个极大线性无关组为的一组Hamel 基或线性基，简称基。规定线性空间的基为空集。可以证明任意线性空间均存在线性基1，我们定义线性空间的维数为线性基的元素个数（或势），记作。

线性基详解

2201_75771132的博客

08-27

846

线性基主要用来解决异或问题。

线性基定义性质及例题

2301_80475191的博客

09-26

913

以上是官方给出的线性基的定义，但是需要一定的线性代数的基础，其实线性基很好理解，我们用下面一个例子去讲解假设有3个数，1,2,3，我们这三个数互相异或总共有八种可能，我们，当然可以，我们可以发现用1,2就可以表示出来了，1自己异或是12自己异或是2因此我们就可以说1,2就是这个方程的一组解，但是线性基未必只有一组，我们设想上面那个问题，是否1,3也可以去表示所有的非0异或解呢？答案当然是肯定的一个数的集合每个序列都拥有至少一个线性基取线性基中若干个数异或起来可以得到原序列中的任何一个数。

线性代数- 线性基与前缀线性基.rar

09-16

理解线性基和前缀线性基对于深入学习线性代数以及在实际问题中应用线性代数思想至关重要。它们是线性代数理论与实践的桥梁，帮助我们在解决复杂问题时找到简洁而有效的解决方案。通过学习和掌握这些概念，不仅可以...

全球表面气温预测研究中的线性基函数模型比较与优化

11-16

研究主要对比了三种类型的基函数（多项式基函数、分段常数基函数、分段线性基函数）在线性基函数(LBF)模型中的预测表现，旨在确定最适合作为时间与温度关系建模的基函数家族。文章提供了ERA5数据集，包含从1940年1月...

8.15.8 ACM-ICPC 线性代数 线性基

tang7mj的博客

07-13

1267

线性基是线性空间中的一个向量组，它具有生成整个空间的能力，同时向量组中的向量彼此线性无关。形式上，如果 VVV 是一个线性空间，向量组 {v1,v2,…,vn}\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}{v1,v2,…生成整个空间。

基于VMD-Attention-LSTM的时间序列预测模型（代码仅使用了一个较小数据集的训练及预测，内含使用使用逻辑，适合初学者观看，模型结构是可行的，有能力的请尝试使用更大的数据集训练）

08-23

资源下载链接为： https://pan.quark.cn/s/f4901605d35f (最新版、最全版本)基于VMD-Attention-LSTM的时间序列预测模型（代码仅使用了一个较小数据集的训练及预测，内含使用使用逻辑，适合初学者观看，模型结构是可行的，有能力的请尝试使用更大的数据集训练）

MATLABSimulink扩频通信系统仿真：BPSKQPSK调制与WalshmGold序列的误码率分析及GUI设计

08-23

基于MATLAB/Simulink平台的扩频通信系统仿真研究。主要内容包括构建扩频通信系统的仿真模型，应用BPSK和QPSK调制技术，使用Walsh、m序列和Gold序列进行扩频处理，生成并分析信号波形图，计算误码率，并设计了用户友好的GUI界面。通过这些步骤，研究人员可以深入了解扩频通信系统的性能特点及其抗干扰能力。适合人群：从事通信工程领域的科研人员和技术开发者，尤其是对扩频通信技术和MATLAB/Simulink有初步了解的人群。使用场景及目标：①用于教学和培训，帮助学生掌握扩频通信系统的理论知识和实际操作技能；②为科研项目提供技术支持，验证不同调制方式和扩频码对系统性能的影响；③辅助产品开发，优化通信设备的设计。其他说明：文中提供了详细的建模方法和具体的实现步骤，附带m源代码，便于读者理解和复现实验结果。

Day09_随堂笔记.pdf

08-23

Python进阶

MATLAB中深度神经网络多特征输入单输出分类模型的实现与可视化

最新发布

08-23

内容概要：本文档详细介绍了如何在MATLAB中实现深度神经网络（DNN）的多特征输入单输出分类模型，涵盖二分类和多分类任务。文档提供了详细的代码注释，指导用户从数据导入、预处理到模型构建、训练以及最终的预测和效果评估全过程。此外，还展示了如何利用MATLAB内置函数生成分类效果图、迭代优化图和混淆矩阵图，帮助用户直观地理解和评估模型性能。适合人群：具有一定MATLAB编程基础的研究人员和技术爱好者，尤其是那些希望深入了解深度学习及其应用的人群。使用场景及目标：适用于需要解决多特征输入分类问题的研究项目或工业应用场景。通过学习本文档，用户能够掌握如何快速搭建和调优DNN模型，从而提高分类任务的准确性。阅读建议：建议读者先熟悉MATLAB的基本语法和深度学习工具箱的功能，再逐步跟随文档中的步骤进行实践。同时，鼓励读者尝试不同的数据集和参数配置，探索最佳模型表现。

电力市场中基于价值认同的电能共享分布式交易策略研究价值认同

08-23

内容概要：本文围绕电能共享市场的交易机制展开分析，提出了基于价值认同的需求侧电能共享分布式交易策略。文章首先介绍了电能共享市场的背景及其重要性，接着详细阐述了价值认同机制的设计，通过建立用户满意度和服务质量评估体系，减少无序竞争带来的无谓损失。此外，文章还设计了一致性算法支持的分布式交易策略，实现了产消者间的去中心化交易，提高了交易透明度和效率，保护了用户隐私。最后，基于剩余理论，文章探讨了边际价格驱动下的电能共享模式，并通过市场博弈模型揭示了无序竞争的问题。适合人群：从事电力市场研究的专业人士、能源政策制定者以及对电能共享市场感兴趣的学者和技术专家。使用场景及目标：适用于希望深入了解电能共享市场运作机制的人群，特别是那些致力于优化电力市场交易机制、降低成本、提高市场效率的研究者和从业者。其他说明：本文不仅提供了理论分析，还提出了具体的技术解决方案，有助于推动电能共享市场的创新发展。

线性基

07-13

<think>首先，用户的问题是关于线性基算法的原理、应用和它在异或空间中的使用。用户提到了“线性基 算法原理应用异或空间”，所以我需要全面解释线性基。从系统指令看： - 所有行内数学表达式必须用$...$格式，比如变量、方程。 - 独立公式必须用$$...$$格式并单独成段。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 在回答中引用的段落末尾添加引用标识，如[^1]。 - 回答结构清晰，逐步解决问题。 - 参考提供的引用内容。提供的引用内容： - [^1] 解释了线性基表示异或空间的所有可能性，总答案是$2^n$，其中n是能插入线性基的数。 - [^2] 讨论了线性基计数，如贡献计算。 - [^3] 提到线性基计数（K大异或和），重新构造线性基。 - [^4] 涉及异或线性基的应用，如求排名。用户意图是学习线性基，用于解决算法问题，如异或空间中的最大子集问题。结构回答： 1. **简介**：介绍什么是线性基。 2. **原理**：解释线性基的构建原理，包括如何插入元素。 3. **应用**：讨论线性基在算法中的应用，如最大异或和、子集计数等。 4. **异或空间**：解释线性基如何表示异或空间。 5. **代码示例**：提供简单代码示例（如果相关）。 6. **相关问题**：生成相关问题。确保使用LaTeX格式： - 行内数学：如$n$个元素。 - 独立公式：如构建过程。从引用中提取关键点： - [^1]：线性基可以表示所有异或可能性，总数为$2^n$。 - [^2]：贡献计算，如元素对答案的贡献。 - [^3]：K大异或和，重新构造线性基。 - [^4]：求排名等。回答步骤： 1. **定义线性基**：线性基是处理向量空间（特别是异或空间）的算法工具，用于高效表示一组数的线性无关基。 2. **原理**： - 插入过程：从高位到低位，如果某位有值，则异或或插入。 - 数学基础：在GF(2)域上，每个数可以看作是向量。 3. **应用**： - 最大异或和：在子集异或问题中，找到最大异或值。 - 子集计数：计算有多少不同异或值。 - K大异或和：找到第K小的异或值。 - 其他如判断值是否可表示等。 4. **异或空间**：线性基将一组数压缩成线性无关基，能表示原集合的所有可能异或结果。 5. **代码**：提供简化代码，如插入函数。最后，生成相关问题。完整回答框架： - **引言**：线性基概述。 - **原理**：详细解释构建过程。 - **应用**：列出常见应用。 - **异或空间解释**。 - **代码片段**。 - **相关问题**。</think>### 线性基算法：原理、应用与异或空间 线性基（Linear Basis）是一种在计算机科学中用于处理向量空间（特别是异或空间）的高效算法工具。它基于线性代数的概念，将一组数压缩成一个线性无关的基，从而简化问题求解。线性基常用于解决异或空间中的子集问题，如最大异或和、子集计数等。以下我将逐步解释其原理、应用及在异或空间中的作用，确保内容清晰可靠。 #### 1. **线性基的原理** 线性基的核心思想是将一组数（通常为整数）表示为二进制向量，并在 GF(2) 域（即模 2 的域）上构建一个线性无关基。这允许我们高效地表示原集合的所有可能异或结果。 - **构建过程**： - 线性基通常用一个数组 $w$ 表示，其中 $w[i]$ 存储最高位为 $i$ 的基向量。 - 插入一个新数 $x$ 时，从高位到低位扫描（例如从第 52 位到第 0 位）： - 如果 $x$ 的第 $i$ 位为 1（即 $x \& (1 \ll i)$ 非零），则检查 $w[i]$ 是否已存在： - 若 $w[i]$ 为空，则设置 $w[i] = x$ 并结束插入。 - 否则，将 $x$ 异或 $w[i]$（即 $x = x \oplus w[i]$）以消除该位，继续扫描低位。 - 这个过程确保基向量保持线性无关，且能表示原集合的所有线性组合。数学上，线性基的构建等价于求解向量空间的基。在 GF(2) 域中，每个数 $a_i$ 可视为一个向量，线性基 $B$ 满足： $$ \text{span}(B) = \text{span}(\{a_1, a_2, \dots, a_n\}) $$ 其中 $\text{span}$ 表示所有线性组合的集合。插入后，基的大小 $n$ 决定了异或空间的维度。例如，给定数集 $\{3, 5, 6\}$（二进制：$11_2, 101_2, 110_2$），构建线性基： - 插入 3：$w[1] = 3$（最高位为 1）。 - 插入 5：$5 \oplus 3 = 6$，然后设置 $w[2] = 6$（最高位为 2）。 - 插入 6：$6 \oplus 6 = 0$，无需插入（已可表示）。最终基为 $\{3, 6\}$，能表示所有原集合的异或值。 - **关键性质**： - 线性基的大小 $n$ 是原集合的秩（rank），表示异或空间的维度。 - 所有可能异或值有 $2^n$ 个不同结果（包括 0），因为每个基元素可选或不选[^1]。 - 插入时间复杂度为 $O(\log \text{maxval})$，其中 $\text{maxval}$ 是数的最大位宽。 #### 2. **线性基在异或空间中的应用** 线性基专为异或运算（$\oplus$）优化，异或空间指所有子集异或结果构成的集合。以下是常见应用场景： - **最大异或和**：找到子集异或的最大值。 - 方法：从高位到低位贪心。如果当前结果异或基向量 $w[i]$ 能增大值，则执行异或。 - 例如，求子集最大异或和：初始化 $ans = 0$，对每个 $i$ 从高到低，如果 $ans \oplus w[i] > ans$，则 $ans = ans \oplus w[i]$。 - 时间复杂度 $O(\log n)$，高效可靠。 - **子集计数**：计算不同异或值的数量。 - 线性基能表示所有 $2^n$ 个异或值（$n$ 为基大小），因为每个基元素独立可选[^1]。 - 如果原集合有 $m$ 个数，但基大小为 $n$，则异或值总数就是 $2^n$（忽略重复或零）。 - **K 大异或和**：找到第 $K$ 小的异或值。 - 需要重构线性基，使每个基向量 $p[i]$ 的第 $j$ 位（$j < i$）为 0，确保异或操作单调[^3]。 - 然后，将 $K$ 视为二进制数：如果 $K$ 的第 $j$ 位为 1，则异或对应基向量 $p[j]$。 - 公式：第 $K$ 小值为 $\bigoplus_{j} (K_j \cdot p[j])$，其中 $K_j$ 是 $K$ 的二进制位。 - **元素贡献计算**：评估每个元素对答案的影响。 - 例如，移除一个元素 $a_x$ 后，新基的大小为 $T$，则 $a_x$ 对答案的贡献为 $2^{n-1-T}$[^2]。 - 用于优化问题，如动态维护线性基。 - **其他应用**： - **判断值是否可表示**：查询一个值 $x$ 是否在异或空间中，通过尝试插入 $x$ 或模拟异或。 - **求排名**：计算一个值 $x$ 在异或值中的排名（允许重复时需特殊处理）[^4]。 - **实际场景**：网络路由算法、密码学（如线性反馈移位寄存器）、竞赛题目（如最大子集异或问题）。 #### 3. **代码示例** 以下是一个简化的线性基实现（Python 伪代码），基于引用中的思想。它包含插入函数和查询异或值总数： ```python mod = 2008 # 示例模数，用于大数处理 class LinearBasis: def __init__(self, bits=52): self.bits = bits self.w = [0] * (bits + 1) # 初始化基数组 self.n = 0 # 基的大小 def insert(self, x): """插入元素 x 到线性基中""" for i in range(self.bits, -1, -1): if x & (1 << i): # 检查第 i 位是否为 1 if not self.w[i]: self.w[i] = x self.n += 1 break else: x ^= self.w[i] # 消除当前位 def query_total(self): """查询不同异或值的总数，即 2^n mod mod""" return pow(2, self.n, mod) # 示例用法 basis = LinearBasis() numbers = [3, 5, 6] for num in numbers: basis.insert(num) print("不同异或值总数:", basis.query_total()) # 输出 4 (因为基大小 n=2, 2^2=4) ``` 此代码演示了基本操作。实际中，可根据需求扩展（如添加最大异或和函数）。 #### 4. **总结** 线性基通过构建线性无关基，高效压缩了异或空间，使问题复杂度从指数级降为线性或对数级。其原理基于 GF(2) 域上的向量空间，应用广泛于算法竞赛和实际问题。记住： - 基大小 $n$ 决定异或值总数 $2^n$。 - 插入操作确保基的线性无关性。 - 在异或空间中，线性基支持快速查询和计数。