8.4 差分算法

前缀和的进阶。

一维差分

基本思想

数组1 2 3 4 5 6，现给数组第2-5个数依次+3,求2-5区间和。
原区间和：
1 3 6 10 15 21
给2+3后的区间和：
1 6 9 13 18 24
既然是求区间和，那么同样的，后面的数也会+1。
但是只要求+2-5的位置，6的位置被多+了1。
这时，我们给6及6以后的位置-3，得到数组区间和：
1 6 9 13 18 21
将此数组与原数组比较，满足题目条件，2-5的位置都加了，其它的位置也没有多加。

公式

这样我们得到公式：
将arr中[l,r]的位置+c取前缀和，arr[l]+=c,arr[r-1]-=c
再对此数组进行取前缀和即可。

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二维差分

洛谷P3397 地毯

题目描述

在 $n\times n$ 的格子上有 $m$ 个地毯。

给出这些地毯的信息，问每个点被多少个地毯覆盖。

输入格式

第一行，两个正整数 $n,m$。意义如题所述。

接下来 $m$ 行，每行两个坐标 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，代表一块地毯，左上角是 $(x_1,y_1)$，右下角是 $(x_2,y_2)$。

输出格式

输出 $n$ 行，每行 $n$ 个正整数。

第 $i$ 行第 $j$ 列的正整数表示 $(i,j)$ 这个格子被多少个地毯覆盖。

样例 #1

样例输入 #1

5 3
2 2 3 3
3 3 5 5
1 2 1 4

样例输出 #1

0 1 1 1 0
0 1 1 0 0
0 1 2 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1

数据范围

对于 $20\%$ 的数据，有 $n\le 50$，$m\le 100$。

对于 $100\%$ 的数据，有 $n,m\le 1000$。

思路

将一维差分的思路转换到二维，画表格，加减矩阵，得到区间矩阵，再对此数组进行二维取前缀和即可。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1005;
int sum[N][N];

void insert(x1,y1,x2,y2)
{
	    sum[x1][y1]++; //加上被多减去的矩阵
        sum[x2+1][y1]--;//减去同一列的区间矩阵
        sum[x1][y2+1]--; //减去同一行的区间矩阵
        sum[x2+1][y2+1]++;//加上大矩阵
}

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int x1,y1,x2,y2;
    
    while(m--)//一共执行m次
    {
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        insert(x1,y1,x2,y2);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            sum[i][j] += sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1];//取前缀和
            cout<<sum[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}