HDU 6125 Free from square （状压 dp , 2017 Multi-Univ Training Contest 7）

最新推荐文章于 2020-07-17 12:47:47 发布

ffutop

最新推荐文章于 2020-07-17 12:47:47 发布

阅读量502

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/DorMOUSENone/article/details/77247652

HDU 同时被 3 个专栏收录

46 篇文章

订阅专栏

Multi-Univ

29 篇文章

订阅专栏

状压dp

3 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种解决问题的方法，该问题要求从1到n的整数中选取最多k个数，使得这些数的乘积不被任何平方数整除。通过分析，将问题转化为对特定素数的状态压缩动态规划，并结合分组背包思想来处理含有大于阈值素数因子的数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

Problem Link

有 $[1, n]$ 的所有正整数，求最少取 1 个，最多取 k 个，使得所取数的累积 $\prod{x_i}$ 不能被某个数的平方整除。问有多少种取值方案。

Idea

显然，根据题意得到所得数的累积 $\prod{x_i}$ 对于每种素数只能取到 1 次。故如果能够状压下所有的素数状态，就是简单的状压 dp 。当然，事实上根本不可能，素数过多。

考虑，对于 $\gt \sqrt{500}$ 的任意数，其最多含有一个 $> \sqrt{500}$ 的素数因子。因此，可以将 $\le \sqrt{500}$ 的素数作为状压的元素（共 8 个，2,3,5,7,11,13,17,19）。而将其余含有 $\gt \sqrt{500}$ 素数因子的数按其最大素数因子分组（显然，每组只能选一个），其余因子必然 $\le \sqrt{500}$ ，故可状压。对于每个分组只能取一个的限制条件，利用类似分组背包的思想可以解决。

HINT：在 $\gt \sqrt{500}$ 的任意数，同样也有仅包含素数因子 {2,3,5,7,11,13,17,19} 的数。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int STATUS = (1<<8) - 1;
const int K = 500 + 10, N = 500+10;
const int mod = 1e9 + 7;
int T, n, k, dp[K][(1<<8)], s[N];
bool notp[N], isSqr[N], vis[N];
vector<int> prime, g[N];
void getPrime() {
    for(int i=2;i<=500;i++) {
        if(notp[i] == true) continue;
        prime.push_back(i);
        for(int j=i+i;j<=500;j+=i) {
            notp[j] = true;
        }   
        for(int j=i*i;j<=500;j+=i*i)    isSqr[j] = true;
    }
}
void initStatus() {
    for(int i=0;i<8;i++)    s[prime[i]] = (1<<i);
    for(int i=2;i<=500;i++) {
        if(notp[i] == false || isSqr[i])    continue;
        for(int j=0;j<8;j++) {
            if(i % prime[j] == 0)   s[i] |= (1<<j);
        }
    }
}
int main()
{
    getPrime();
    initStatus();
    scanf("%d", &T);
    while(T-- && scanf("%d %d", &n, &k)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)   g[i].clear();
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        dp[0][0] = dp[1][0] = 1;

        for(int i=8;i<prime.size();i++)
        for(int j=prime[i];j<=n;j+=prime[i]) {
            if(isSqr[j])    continue;
            g[ prime[i] ].push_back(j);
            vis[j] = true;
        }

        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            if(isSqr[i] || vis[i])  continue;
            for(int kk=0;kk<k;kk++)
            for(int status=0;status<=STATUS;status++)
            {
                if(s[i] & status)   continue;
                (dp[kk+1][status | s[i]] += dp[kk][status]) %= mod; 
            }
        }

        for(int i=23;i<=n;i++)
        {
            if(g[i].size() == 0)    continue;
            for(int kk=k-1;kk>=0;kk--)
            for(int status=0;status<=STATUS;status++)
            for(int j=0;j<g[i].size();j++)
            {
                if(s[ g[i][j] ] & status)   continue;
                (dp[kk+1][status | s[ g[i][j] ]] += dp[kk][status]) %= mod;
            }
        }

        int ans = 0;
        for(int kk=1;kk<=k;kk++)
        for(int status=0;status<=STATUS;status++)
            (ans += dp[kk][status]) %= mod;

        printf("%d\n", ans);
    }
}