HDU 6211 Pythagoras （预处理, 2017 ACM/ICPC Asia Regional Qingdao Online）

最新推荐文章于 2021-02-21 14:46:19 发布

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本文探讨了在特定约束条件下，高效寻找并计算勾股数的方法。利用三叉树结构和矩阵运算，提出了一种递归搜索算法，该算法能够在预处理的帮助下满足时间限制要求。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

Given a list of integers $a_0,a_1,a_2,⋯,a_{2^k−1}$ . Pythagoras triples over $10^9$ are all solutions of $x^2+y^2=z^2$ where x,y and z are constrained to be positive integers less than or equal to $10^9$ . You are to compute the sum of $a_{y \mod 2^k}$ of triples (x,y,z) such that x

Idea

首先，刨除对 $a_{y\mod 2^k}$ 的计算。此题首先要求求有多少组 (x, y, z) 满足 gcd(x, y) = gcd(x, z) = gcd(y, z) = gcd(x, y, z) = 1 且 $x, y,z\le 10^9$ 。上述描述即求有多少组本原勾股数或素勾股数 (x, y, z) 满足 $x,y,z\le 10^9$ 。

在求本原勾股数已有成熟 $\mathcal{O(N^2)}$ 的算法，但此处无法使用 $N \approx 10^9$ 。

同时所有本原勾股数可以构成一个完整的三叉树形式

它们分别通过矩阵

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ A B C = ⎡ ⎣ ⎢ 122 - 2 - 1 - 2 223 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ 122212223 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ - 1 - 2 - 2 212223 ⎤ ⎦ ⎥

$\begin{cases} A&= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \end{bmatrix} \\ B&=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2& 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{bmatrix}\\ C&=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 3\end{bmatrix}\\ \end{cases}$
得到。详见 Tree of primitive Pythagorean triples

由于在 $x, y, z \le 10^9$ 时，最大的树深度为 $\approx 20000$ ，故可用递归的形式深搜。

总共产生的本原勾股数组数在 $\approx 1.5 \times 10^8$ 左右，在预处理的情况下可以勉强达到时限要求。

之后的本题具体内容的处理不做具体说明（最难的问题已经解决了）。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int LMT = 1e9;
long long cnt = 0;
const int N = 1<<17;
const int MOD = N - 1;
int dig[N], a[N], T, k;
void solve(long long a, long long b, long long c)
{
    if(c > LMT) return;
    dig[ max(a, b)&MOD ] ++;
    long long aa = a<<1;
    long long bb = b<<1;
    long long cc = c<<1;
    solve(a-bb+cc, aa-b+cc, aa-bb+cc+c);
    //solve(a-(b<<1)+(c<<1), (a<<1)-b+(c<<1), (a<<1)-(b<<1)+(c<<1)+c);

    solve(a+bb+cc, aa+b+cc, aa+bb+cc+c);
    //solve(a+(b<<1)+(c<<1), (a<<1)+b+(c<<1), (a<<1)+(b<<1)+(c<<1)+c);

    solve(bb+cc-a, b+cc-aa, bb+cc+c-aa);
    //solve(-a+(b<<1)+(c<<1), -(a<<1)+b+(c<<1), -(a<<1)+(b<<1)+(c<<1)+c);
}
int main()
{
    solve(3, 4, 5);
    scanf("%d", &T);
    while(T-- && scanf("%d", &k)!=EOF)
    {
        int mod = (1<<k);
        for(int i=0;i<mod;i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        long long ans = 0;
        for(int i=0, j=0;i<N;i++,j++)
        {
            if(j == mod)    j = 0;
            ans += dig[i] * a[j];   
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
}