果汁

最新推荐文章于 2025-04-18 11:51:50 发布

ACTY

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分类专栏：芸芸众题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Donald_TY/article/details/72190895

芸芸众题专栏收录该内容

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本文探讨了一道关于果汁倒腾的算法题，旨在通过一系列倒腾操作使总得分最大化。文章详细介绍了问题背景、输入输出格式及示例，并提供了一个有效的解决方案，包括状态转移和动态规划的思想。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
罗老师准备了N杯果汁，编号0到N-1，每个杯子有C升容量。刚开始，每个杯子里倒了b[i]升果汁。罗老师会对这些果汁进行一些操作，选择两杯A和B，可以将A倒到B，直到A空了或B满了。
罗老师萌发一个想法，如果一个杯子里最终有x升果汁，那么得分p[x]分，于是罗老师随机为p[0]~p[C]设置了分数。现在问题是，罗老师通过上述操作，最大可以得到多少分？

输入
输入N C
输入N个整数，表示b[i]，即每杯初始果汁
输入C+1个整数，表示p[x]，即每个杯子中x升果汁得分多少

输出
输出最大得分

样例输入
2 10
5 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
样例输出
10

提示
【样例说明】
可以倒成一杯3，一杯10，3的得0分，10的得10分

其他样例
input
2 10
5 8
0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 10
output
20

input
4 10
4 5 3 7
14 76 12 35 6 94 26 3 93 90 420
output
625

【数据规模和约定】
$1<=N<=15$
$1<=C<=49$
$0<=b[i]<=C$
$0<=p[x]<=1,000,000$

Solution

乍一看，我们似乎没有任何思路。
但我们发现一个定理
如果对规定的某几个杯子进行互相倾倒的操作，它们最终的含量都是一样的。
然后我们可以发现，一种最优状态必是分成多个子集，每个子集里要么都不动，要么互相倾倒
一个很显然的做法就是处理每种状态互相倾倒的价值
然后枚举状态i，进行转移

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,c,all;
int f[33000],val[33000];
int b[20],d[20],p[50];
void dfs(int k,int len,int now,int pre) //枚举前面的状态
{
    if(k>len) 
    {
        f[now]=max(f[now],f[pre]+f[now-pre]);
        return;
    }
    dfs(k+1,len,now,pre-d[k]);
    dfs(k+1,len,now,pre);
}   
int main()
{
    cin>>n>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=0;i<=c;i++) scanf("%d",&p[i]);
    all=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=all;i++)
    {
        int l=0;
        for(int j=1;j<=n;j++) 
        if((i&(1<<(j-1)))>0) 
        {
            l++;
            d[l]=b[j];
        }

        for(int j=1;j<=l;j++)
        for(int k=1;k<=l;k++) 
        if(j!=k&&d[j]!=0&&d[j]!=c&&d[k]!=0&&d[k]!=c) 
        {
            if(d[j]+d[k]>=c) 
            {
                int t=d[k];
                d[k]=c;
                d[j]=d[j]-(c-t);
            }
            else
            {
                d[k]=d[k]+d[j];
                d[j]=0;
            }
        }
        for(int j=1;j<=l;j++) val[i]=val[i]+p[d[j]];
    }   
    for(int i=1;i<=all;i++) 
    {
        f[i]=val[i]; //初始化
        int l=0;
        for(int j=1;j<=n;j++) 
        if((i&(1<<(j-1)))>0)
        {
            l++;
            d[l]=(1<<(j-1));
        }
        dfs(1,l,i,i);
    }
    cout<<f[all];
    return 0;
}