Fibonacci进制

最新推荐文章于 2019-11-08 07:58:14 发布

原创最新推荐文章于 2019-11-08 07:58:14 发布 · 1.7k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

芸芸众题专栏收录该内容

24 篇文章

订阅专栏

该博客讨论了一种名为Fibonacci进制的数制表示，其中数字由0和1组成，权值为Fibonacci数。博主Bsny分享了如何将自然数转换为Fibonacci进制，并提出一个问题：在Fibonacci进制表示的前N个数字中，1出现的次数。博主提供了样例输入和输出，以及数据规模限制。虽然在考试中未能正确解答此题，博主计划将这类问题作为自我反思的一部分，认为失败的题目具有很高的学习价值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
定义一种Fibonacci进制，可以将十进制数用Fibonacci数表示。Fibonacci进制中，每个位上的数值只有0或1，权值是Fibonacci数。令f0=f1=1，fi=fi-1+fi-2, N=an*fn+an-1*fn-1+…+a1*f1，写成N=anan-1..a2a1f。Fibonacci表示中，不能出现相邻的两个1。例如：自然数（十进制）表示为Fibonacci进制为1=1F，2=10F，3=100F，4=3+1=101F，5=1000F，6=5+1=1001F，7=5+2=1010F。
现在，Bsny将所有自然数按照Fibonacci进制，依次输出在屏幕上，110100101100010011010……现在，Bsny想知道这个长串的前N个数字中，包含多少个1。

输入
第一行一个整数N，表示统计范围是自然数的Fibonacci
表示的前N个数字

输出
一个数，前N个数字中1的个数。

样例输入
21
样例输出
10
提示
【样例解释】
前21个数字为110100101100010011010，共有10个1。
【数据规模】
30%的数据N≤1000；
50%的数据N≤ $10^6$ ；
100%的数据N≤ $10^15$ 。

这题做得很失败，考试的时候都想到了怎么做，但就是写不对。事后总结，发现还是对定义与步骤不够清晰。话虽如此，但是在考试中保持清醒的头脑不是说做到就能做到的。还是应该沉下心来，多模拟几个样例，对步骤清晰了之后再写程序。
打算把这些失败的题目都汇集起来，作为自己的反省录吧。这些失败的题目才是最有价值的。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
int x,y,len,pre,last;
int b[75];
ll n,m,f[75],s1[75],s2[75],ans;
ll Max,sum[75],num[75],one[75]; 
int sumone(ll x,int y) //算x的前y位有几个1
{
    for(int i=1;i<=len;i++) b[i]=0;
    for(int i=len;i>=1;i--) 
    if(x-f[i]>=0) 
    {
        x=x-f[i];
        b[i]=1;
    }
    int z=len,s=0;
    while(b[z]==0) z--;
    for(int i=z;i>=z-y+1;i--) s=s+b[i];
    return s;
}
void prepare()
{
    f[0]=1;f[1]=1;
    len=2;
    while(1) 
    {
        f[len]=f[len-1]+f[len-2];
        if(f[len]>=1e15) break;
        len++;
    }
    s2[0]=0;s2[1]=1;
    for(int i=2;i<=len;i++) s2[i]=s2[i-1]+s2[i-2]+f[i-1]; //s2[i]表示i位的01串，1的数量 
    s1[1]=1;s1[2]=1;
    for(int i=3;i<=len;i++) s1[i]=f[i-1]+s2[i-2]; //开头必须是1的串，1的数量 
}       
int main()
{
    prepare(); 
    cin>>n;
    ans=0;
    for(int i=1;i<=len;i++) 
    {
        sum[i]=sum[i-1]+f[i-1]*i; //数字数量的前缀和 
        num[i]=num[i-1]+f[i-1]; //数字个数的前缀和 
        one[i]=one[i-1]+s1[i]; //1的数量的前缀和 
    }
    for(int i=len;i>=1;i--)  
    if(n>=sum[i]) 
    {
        n=n-sum[i];
        ans=ans+one[i];
        last=i+1; 
        break; 
    }
    pre=last; 
    Max=f[last]; 
    x=1; 
    while(n>0) 
    {
        if(n<=last) //剩下的一个数不到 
        {
            ans=ans+sumone(Max,n);
            cout<<ans;
            return 0; 
        }
        else 
        {
            n-=last; 
            ans=ans+x;
        }
        for(int i=pre-2;i>=1;i--) 
        if(n-num[i]*last>=0) 
        {
            n=n-num[i]*last;
            ans=ans+one[i]+num[i]*x; 
            x++;
            pre=i+1; 
            Max=Max+f[pre]; 
            break; 
        }
    }
    cout<<ans; 
    return 0;
}