探究CF1009(div3)C题——XOR and Triangle

探究Codeforces Round 1009 (Div. 3)C. XOR and Triangle

给出以下式子：
$a+b=a\oplus b+2\times (a\&b)$

移项：

$a\oplus b=a+b-2\times (a\&b)$

给出式子的证明：

• 我们可以将异或运算理解为不进位的加法，比如：$1\oplus 1=0,1\oplus 0=0,0\oplus 0=0$，这表明当前位上的数字是正确的

• 而$2\times (a\&b)=(a\&b)<<1$，这意味着进位。若该为是$1_{(2)}+1_{(2)}$，则$1\&1$后左移一位表示了进位，即$10_{(2)}$

• 即通$2\times (a\&b)$，标记出了需要进位的位。读者不妨列出竖式，这样更易理解

同时，也可基于上面式子实现不使用加法运算符号的加法

根据题意，可列出不等式组：

$x+y>x\oplus y$

$x+x\oplus y>y$

$y+x\oplus y>x$

$y<x$

对于上述第二个式子，显然成立

于是有不等式组：

$x+y>x\oplus y$

$x\oplus y>x-y$

等效替换后有：

$x\oplus y+2\times (x\&y)>x\oplus y$，$i.e.$，$x\&y>0$

$x+y-2\times (x\&y)>x-y$，$i.e.$，$y>x\&y$

这说明了：

$x$的某一位是$1$，$y$的某一位必须和$x$是$1$的位相同，且$y$最少有一位是$1$

$x$的某一位是$0$，则$y$的这一位有可能是$1$，否则不满足$y>x\&y$

同时$y<x$

所以$y$的构造是：从$x$的最低位开始找，找到是$1$和$0$ 的位，$y$中这两个位必须是$1$，其他位是$0$，这样构造出来的$y$满足条件并且$y$是尽可能小的，此时只需检验$y<x$是否成立，若不成立，则无法找到$y$，否则可以

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
#define endl "\n"

LL qmi(LL a, LL b) {
	LL res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) res = res * a;
		a = a * a;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

void solve() {
	int x;
	cin >> x;
	int low = 0, low_0 = 0;
	for (int j = 0; j < 31; j ++) {
		if (x >> j & 1) {
			low = j;
			break;
		}
	}
	for (int j = 0; j < 31; j ++) {
		if ((x >> j & 1) == 0) {
			low_0 = j;
			break;
		}
	}
	
	int y = qmi(2, low) + qmi(2, low_0);
	if (y < x) {
		cout << y << endl;
	} else {
		cout << -1 << endl;
	}
}

int main() {	
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	int t;
	cin >> t;
	while (t --) {
		solve();
	}
	
	return 0;
}