【含详细证明过程】一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法

【问题】一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

时间限制：1秒 空间限制：32768K

思路1：递归法

利用二叉树，结点为当前剩余台阶数，左孩子为跳 1 级，右孩子为跳 2 级，直到剩余台阶数为 0 即叶子结点时，累加跳法数量。

算法很简单，以下为 JavaScript 实现代码（运行超时）：

var ways = 0;
// 树结点
// function TreeNode(val) {
//  this.val = val;
//  this.left = null;
//  this.right = null;
// }
// 创建二叉树，无须创建节点，只是利用了二叉树的思想
function createTree(number) {
    // var T = new TreeNode(number);
    if (number >= 1)
        // T.left = createTree(number - 1);
        createTree(number - 1);
    if (number >= 2)
        // T.right = createTree(number - 2);
        createTree(number - 2);
    if (number == 0) {
        ways++;
    }
    // return T;
}
// main
function jumpFloor(number)
{
    ways = 0;
    createTree(number);
    return ways;
}

优点：易于理解，与自己画图的思路一样。
缺点：即使没有真的创建二叉树出来，当 number 比大的时候，由于递归，空间时间复杂度还是比较高，程序效率也比较低。

 

思路2：递归转迭代（斐波那契数列）

将思路1的递归改成迭代写法，会发现很像斐波那契数列。根据实验结果，分别求出 number 从 0 到 10 的结果为：[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]，也确实很符合斐波那契数列规律。下面我们利用数学归纳法验证一下：

记 Fb(i) 为斐波那契数列第 i 项的值（i 从 0 开始），jump(i) 为台阶数为 i 时的总跳数，number 为台阶数
1. 当 number = 0 或 1 的时候，跳法为 1，jump(0) = Fb(0)，jump(1) = Fb(1) 成立；
2. 假设当 number = n (n > 1) 的时候，有 jump(n) = Fb(n) 成立，则当 number = n + 1 的时候， 有两种互斥的跳法：
    ① 跳到第 n 级，再跳 1 级，则跳到第 n 级有几种方法，此种跳法就有多少，即为 jump(n)。
        注意这里并不是 jump(n) + 1，这里是指跳法为“跳到第 n 级，再跳 1 级”这种跳法，“再跳1级”指基于跳 n 级的基础上
    ② 跳到第 n - 1 级，再跳 2 级，跳法为 jump(n-1)。
        注意这里只能一口气跳 2 级了，否则跳 1 级，就和跳法①重叠了
即有jump(n+1) = jump(n) + jump(n-1) = Fb(n) + Fb(n-1) = Fb(n+1)
jump(n+1) = Fb(n+1) 成立。

所以，本题目等同于求斐波那契数列的第 number 项。代码如下（通过）：

function jumpFloor(number)
{
    var fb = [1, 1];
    for (var i = 2; i <= number; i++) {
    	fb.push(fb[i - 2] + fb[i - 1]);
    }
    return fb[number];
}

优点：速度快
缺点：空间换时间，需要存储前面的计算结果（可以通过3个变量重复利用，来降低空间）