动态规划 - 斐波那契数列模型

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目录

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前言

1、题1 第 N 个泰波那契数 ：

解法一：动态规划

参考代码：

解法二：空间优化版本

参考代码：

2、题2 三步问题：

解法: 动态规划

参考代码：

3、题3 使用最小花费爬楼梯：

解法一：动态规划(以某一个位置为结尾)

参考代码：

解法二：动态规划(以某一个位置为开头)

参考代码：

4、题4 解码方法：

解法：动态规划

参考代码：

优化参考代码：

总结

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前言

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索；

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大家可以先尝试自己做一下喔~

斐波那契数列模型 

1. 1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣（LeetCode）
2. 面试题 08.01. 三步问题 - 力扣（LeetCode）
3. 746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）
4. 91. 解码方法 - 力扣（LeetCode）

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1、题1 第 N 个泰波那契数 ：

1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣（LeetCode）

思考：

可以将泰波那契数看作是斐波那契数的加强版；

根据题意可知第n个泰波那契等于其前三个泰波那契数之和；

解法一：动态规划

动态规划的做题流程，一般会定义一个dp 表（dp 表通常是一个一维数组或者二维数组）；一维数组的情况：先创建一个一维数组，该数组通常被称为dp 表，接下来就是填dp 表，其中的某一个值可能就是最后的结果；

我们可以使用动态规划来解决这道题，五个步骤：

1、确定一个动态表达式

2、根据该动态表达式来推导状态转移方程

3、初始化

4、填表顺序

5、返回值

a、状态表示

Q1： 什么是状态表示？

• dp 表中某一个位置所代表的含义；eg.dp[0] 存了一个值a,那么值a 便会代表一个特殊的含义，其中此含义就是状态表示；

Q2：状态表示是怎么样来的？

一般有三种方式可以来确定：

• 1、题目怎么要求，我们就怎么定义状态表示
• 2、经验 + 题目要求
• 3、分析题目的过程中发现重复的子问题（再将重复的子问题抽象为状态表达式）

注：在本题中可以直接按照题干的要求去定义一个状态表示；本题的目标：返回第n个泰波那契数；

我们可以搞一个dp 表，让dp[0] 表示第0个泰波那契数，dp[1] 表示第1个泰波那契数……dp[i] 表示第i 个泰波那契数……我们只需要返回第n 个泰波那契数，即返回 dp[n];

b、状态转移方程

在本题中，我们需要思考的是：dp[i] 怎么求来？ 

推导状态转移方程：1、用之前或者之后的状态推导得到dp[i] 的值 2、根据最近的一步来划分问题

本题十分明显由可得：Tn = Tn-1 + Tn-2 + Tn-3 ；故而本题的状态转移方程为：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];

c、初始化

初始化的含义：保证填dp表（根据状态转移方程来调表）的时候不会发生越界；

Q1：为什么要保证不越界？

• 倘若用此处的状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]; 直接填表，那么 dp[0] = dp[-1] + dp[-2] + dp[-3] ，而 dp[-1] ，dp[-2] ，dp[-3] 就是越界访问；本题中的dp[0] 、dp[1]、dp[2]使用状态转移方程的时候均会发越界，所以这三个值需要单独进行初始化；而如何初始化取决于题干；

在本题中：

d、填表顺序

Q：为什么要研究填表顺序？

• 为保证填写当前状态的时候所需要的状态已经计算好了；

在本题中，因为dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]，即填表的时候需要借助于其前三个数据，所以填表顺序为从左往右；

d、返回值

返回结果： 结合题目要求+状态表示

本题干：，所以我们返回 dp[n] 即可；

参考代码：

    int tribonacci(int n) 
    {
        //边界情况处理
        if(n==0) return 0;
        else if(n==1 || n==2) return 1;
        //创建一维dp
        //状态表示：dp[i]表示第i个泰波那契数
        //状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
        //初始化： dp[0]= 0 , dp[1] =1, dp[2] = 1; 
        //填表顺序： 从左往右
        //返回值：dp[n]
        vector<int> dp(n+1);
        //初始化
        dp[0]= 0 , dp[1] =1, dp[2] = 1;
        //填表
        for(int i = 3;i<=n;i++)
        {
            //状态转移方程
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];
        }
        //返回结果
        return dp[n];
    }

解法二：空间优化版本

注：此处空间优化的技巧只会在这道题以及接下来的背包问题中可用；

关于动态规划的空间优化，一般都是用流动数组的形式来优化；可以将时间复杂度为O(N^2)的动态规划优化成时间复杂度为O(N)，将时间复杂度为O(N)的动态规划优化成时间复杂度为O(1)；

可以发现，在求某一状态时，仅需要该状态前三个状态就可以求得到本状态；当我们依次从左往右求dp[i] 的时候，dp数组中太靠前的数据反而用不到，显然用不到的数据可以省去的。仅用该数组中有效的若干个状态便可以解决，像这样的情况，我们都可以用滚动数组来解决；创建三个变量进行”流动“，以维护所求状态的前三个状态；

Q：明明是利用变量在滚动的，为什么叫做”滚动数组“？

”滚动数组“只是一个名字而已，取这个名称只是为了统一叫法；

注：三个变量，在实现的时候还可以定义为 int[3] 的数组