ARIMA （自回归综合移动平均）模型讲解

ARIMA 模型（自回归综合移动平均模型）通俗讲解

前言

最近比较忙，有段时间没看这里了，前段时间我简单介绍了 SMA、ES、Holt 等基于平滑思想的时间序列预测方法。这篇我要讲的是一个更标准、更统计化的预测模型 —— ARIMA 模型（AutoRegressive Integrated Moving Average），中文名为自回归综合移动平均模型。ARIMA 相对于前面的模型来说不只是“平滑”，而是试图通过数学建模方式去解释时间序列中的自相关结构、趋势项甚至是非平稳性。

它背后的逻辑并不算特别复杂，但由于引入了差分、自回归、噪声项等新概念，一开始学习会有些抽象。希望通过今天这篇文章，用通俗、直白的方式帮各位友友们简单快速理解 ARIMA 的核心逻辑与简单代码实现。

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1. 什么是 ARIMA？

ARIMA 模型，全称为 AutoRegressive Integrated Moving Average，中文为“自回归综合移动平均模型”，是一种广泛使用的时间序列建模方法。

它的核心思想可以拆成三部分：

• AR（AutoRegressive，自回归）：当前值与过去若干期的值有关
• I（Integrated，差分）：用于消除非平稳性，让数据趋势更稳定
• MA（Moving Average，移动平均）：当前值与过去的随机误差项有关

ARIMA 用三个整数参数表示：ARIMA(p, d, q)，其中：

• p：自回归项的阶数（使用多少个过去的值）
• d：差分阶数（数据差分几次后变得平稳）
• q：移动平均项的阶数（考虑多少个误差滞后项）

因此你可以把 ARIMA 理解为：

“先对数据差分 d 次使其平稳，再用 AR( p ) + MA( q ) 对差分后的序列建模。”

与前面我学过的 Holt 模型相比，ARIMA 更偏向于数据驱动的建模，强调利用数据本身的结构进行拟合与预测，不显式地构建趋势或季节性项，而是通过数学结构自动建模。

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2. ARIMA 模型的结构与数学公式

ARIMA 模型的完整形式由三个部分构成：

2.1 AR（自回归）部分

自回归的核心思想是：当前值由过去的若干个值线性组合得到。

数学表达式：

$$Y_t={\varphi }_1{Y}_{t-1}+{\varphi }_2{Y}_{t-2}+\cdots +{\varphi }_p{Y}_{t-p}+{ϵ}_t$$

其中：

• $Y_t$：当前时间点的观测值

• ${\varphi }_i$：自回归系数

• ${ϵ}_t$：白噪声误差项

2.2 I（差分）部分

差分是用来让原始数据变得平稳的操作。

一阶差分：

$$Y_t^{\prime }=Y_t-Y_{t-1}$$

二阶差分：

$$Y_t^{\prime \prime }=Y_t^{\prime }-Y_{t-1}^{\prime }=(Y_t-Y_{t-1})-(Y_{t-1}-Y_{t-2})$$

我们通过对非平稳数据做 $d$ 次差分，使其变得平稳，再进行建模。

2.3 MA（移动平均）部分

移动平均部分表示当前值不仅受过去误差的影响，还用过去误差的线性组合来建模。

数学表达式：

$$Y_t={ϵ}_t+{\theta }_1{ϵ}_{t-1}+{\theta }_2{ϵ}_{t-2}+\cdots +{\theta }_q{ϵ}_{t-q}$$

其中：${\theta }_j$ 是移动平均系数。

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组合结构小结：

将三部分组合后，得到 ARIMA(p, d, q) 的建模流程：

1. 对原始序列做 $d$ 次差分，得到平稳序列 $Y_t^{\prime }$
2. 使用 AR§ 建模 $Y_t^{\prime }$ 与其滞后项的关系
3. 使用 MA(q) 模拟残差误差的变化结构

最终模型的预测值来自 AR 与 MA 的加权和，残差项被显式考虑，提升了预测精度。

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3. 参数选择与平稳性判断

在使用 ARIMA 模型之前，我们必须确定三个参数：p、d 和 q。

3.1 如何判断数据是否平稳？

ARIMA 要求输入序列必须是平稳的，因此我们通常从“原始序列是否平稳”开始判断。

• 直观观察：绘图观察数据是否存在趋势、波动性是否随时间变化
• ADF 单位根检验：最常用的平稳性检验方法（Augmented Dickey-Fuller Test）

使用 Python 实现：

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
result = adfuller(series)
print(f"ADF Statistic: {result[0]}")
print(f"p-value: {result[1]}")

若 p-value < 0.05，通常认为序列是平稳的；否则需要进行差分处理。

3.2 如何选择 d（差分阶数）？

• 先对非平稳数据进行一次差分，再重新做 ADF 检验
• 如果差分一次后变得平稳，则 d = 1；否则可能需要 d = 2

一般情况下，d = 1 已经足够，大于 2 的差分较少使用

3.3 如何选择 p 和 q？

这一步主要依赖于自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）的判断：

• ACF（Autocorrelation Function）：观察残差与滞后值之间的线性关系 → 选择 q
• PACF（Partial ACF）：剔除间接影响后直接滞后项的相关性 → 选择 p

使用 Python 绘制：

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
plot_acf(series)
plot_pacf(series)

一般经验：

• PACF 在第 p 阶截尾（突然断掉） → 自回归阶数可设为 p
• ACF 在第 q 阶截尾 → 移动平均阶数可设为 q

如果看不清，也可以用 auto_arima 自动选择（后续代码会提到）。

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4. Python 实现 ARIMA 模型

我们使用两种方式来演示 ARIMA：

• ✅ 手动指定参数 p, d, q
• ✅ 使用 auto_arima 自动寻找最优组合

方法一：手动构建 ARIMA

from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设 series 为一维时间序列
model = ARIMA(series, order=(2, 1, 2))  # ARIMA(p, d, q)
fit = model.fit()

# 预测未来 10 步
forecast = fit.forecast(steps=10)
print(forecast)

# 绘图
plt.plot(series, label='原始数据')
plt.plot(range(len(series), len(series)+10), forecast, label='预测')
plt.legend()
plt.show()

方法二：使用 auto_arima 自动调参

from pmdarima import auto_arima

# 自动寻找最优 (p,d,q)
model = auto_arima(series, seasonal=False, trace=True)
model.summary()

# 预测
forecast = model.predict(n_periods=10)

auto_arima 会自动执行 ADF 检验、差分判断、AIC/BIC 模型评估，适合初学者快速上手。

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5. 总结、思考与叠甲

首先叠甲，我目前研一，文章也是自己记录学习，定位是“通俗入门向”，有些内容可能简化了理论细节，也可能存在理解偏差或表达不够严谨的地方。欢迎各位大佬评论区友好交流，有问题也及时指出，非常感谢！

ARIMA 是时间序列建模中非常经典的基础模型，适用于以下情况：

✅ 适用场景：

• 有明显趋势或非平稳性的数据（如销量、气温）
• 数据中存在滞后相关性结构
• 想使用具备解释性的传统统计方法进行建模与预测

❌ 不适用情况：

• 数据中存在明显季节性（应使用 SARIMA）
• 长期非线性趋势或突变（建议考虑 LSTM、Prophet 等）

📌 总结优缺点：

优点	缺点
模型经典，结构清晰	仅支持线性相关结构
可解释性强	参数选择需依赖图形或经验
多种库支持，容易实现	对季节性、非线性适应性差

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🎓 我的学习体会：

ARIMA 是我在学习时序建模过程中真正“开始理解建模是什么”的节点。它的思维方式与之前的 SMA、ES 完全不同，不是“平滑”，而是用方程解释数据演化过程。

虽然参数选择需要一点统计基础和经验判断，但用好之后确实能做出非常稳定且解释清晰的预测效果。