P3134 [USACO16JAN] Lights Out G 题解

最新推荐文章于 2025-12-17 20:27:06 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-17 20:27:06 发布 · 230 阅读

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#算法 #c++ #学习 #哈希 #USACO #OI #竞赛

文章介绍了如何使用哈希方法解决一个关于判断奶牛行走路径是否唯一的问题。通过对每个边的角度和距离进行特定计算，并结合多集合(multiset)数据结构，判断路径是否存在重复。通过处理内角为90°和270°的情况，以及防止溢出的模运算，实现了高效的路径比较。虽然时间复杂度为O(n^2logn)，但理论上可以优化到O(n^2)。

我一开始读错题了，以为奶牛知道方向…

感觉大家都是字符串做法，来个快一点的哈希。

我们要找奶牛走的路径是否唯一，判断两个路径是否相同，需要存储很多信息，而且只比较是否相等，这显然是哈希的标志。

哈希的方式就很多了，我的方式是每条边距离乘上内角，内角用两个常数表示。

这里我觉得可能需要进一步解释，内角只有两种情况，分别是 $90°90\degree$ 和 $270°270\degree$ 两种可能，如何求角是个麻烦的事情。

我们可以讨论一手，然后发现，我们给出点的时候（也就是输入），要么是顺时针给，要么是逆时针给，而角度与 $(i - 1, i)$ 旋转至 $(i, i + 1)$ 是顺时针还是逆时针有关。

进一步地，我们不关心角度到底是多少，我们反正要把它变成一个常量了，我们不妨直接按顺时针还是逆时针给其表示内角的常量。

处理好了，每次还要乘上一个常数 $K$ ，防止溢出还需要模 $10^9+7$ 。

我们把这些路径存在 multiset 之中，我们需要多个 multiset，第 $i$ 个表示路径经历边数为 $i$ 的路径的哈希值可重集。

我们直接模拟吧，当我们走的一个地方时，我们的哈希值在可重集中是唯一的，那么终止循环并更新答案即可。

由于我用了 multiset，时间复杂度为 $O(n^2\log n)$ ，理论上可以优化成 $O(n^2)$ ，但我懒。

我丧心病狂也才全洛谷第四，前面的字符串怎么比我快啊 QAQ。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL N=1005;
const LL L=114514,R=191981,K=2008;
const LL mod=1e9+7;

LL n,x[N],y[N],dis[N],mx,l[N],r[N],d[N];
multiset<LL>s[N];
LL cal(LL a,LL b)
{
	if(a==n+1)a=1;
	return abs(x[a]-x[b])+abs(y[a]-y[b]);
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		dis[i]=dis[i-1]+cal(i-1,i);
	}
	for(int i=n;i>=2;i--)
	{
		dis[i]=min(dis[i],dis[i+1]+cal(i+1,i));
	}	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i==1)
		{
			if(x[i]+y[i]<=x[n]+y[n])l[i]=1;	
		}
		else if(x[i]+y[i]<=x[i-1]+y[i-1])l[i]=1;	
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		if(i==n)
		{
			if(x[i]+y[i]<=x[1]+y[1])r[i]=1;	
			if(x[i]==x[1]&&l[i]==0&&r[i]==1)d[i]=R;
			else if(y[i]==y[1]&&l[i]==1&&r[i]==1)d[i]=R;
			else if(x[i]==x[1]&&l[i]==1&&r[i]==0)d[i]=R;
			else if(y[i]==y[1]&&l[i]==0&&r[i]==0)d[i]=R;
		}
		else
		{
			if(x[i]+y[i]<=x[i+1]+y[i+1])r[i]=1;
			if(x[i]==x[i+1]&&l[i]==0&&r[i]==1)d[i]=R;
			else if(y[i]==y[i+1]&&l[i]==1&&r[i]==1)d[i]=R;
			else if(x[i]==x[i+1]&&l[i]==1&&r[i]==0)d[i]=R;
			else if(y[i]==y[i+1]&&l[i]==0&&r[i]==0)d[i]=R;
		}
		if(d[i]==0)d[i]=L;
	}	
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		LL cnt=d[i];
		s[0].insert(d[i]);
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			cnt=cnt*K%mod;
			if(x[j]+y[j]<=x[j-1]+y[j-1])
			{
				cnt=(cnt+d[j]*cal(j,j-1)%mod)%mod;
			}
			else
			{
				cnt=(cnt+d[j]*cal(j,j-1)%mod)%mod;
			}
			s[j-i].insert(cnt);
		}
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		LL cnt=d[i],sum=0;		
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			cnt=cnt*K%mod;
			if(x[j]+y[j]<=x[j-1]+y[j-1])
			{
				cnt=(cnt+d[j]*cal(j,j-1)%mod)%mod;
			}
			else
			{
				cnt=(cnt+d[j]*cal(j,j-1)%mod)%mod;
			}
			sum+=cal(j,j-1); 
			if(s[j-i].count(cnt)<=1)
			{
				mx=max(mx,dis[j]+sum-dis[i]);
				break;
			}			
		}		
	}
	printf("%lld",mx);
	return 0;
}