蓝桥杯 算法训练 传纸条

问题描述
　　小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
　　在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
　　还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入格式
　　输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
　　接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出格式
　　输出一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
样例输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
样例输出
34
数据规模和约定
　　30%的数据满足：1<=m,n<=10
　　100%的数据满足：1<=m,n<=50

算法分析

这道题有两条路线需要寻找，

• 一条是从上到下，只能向下或向右的线路，
• 一条是从下到上，只能向上或向左的线路

那么整合一下可以发现我们要找的线路是这样的：

• 两条好感度最高且无重复元素的线路之和（方向均为从上到下，方向向下或向右）

所以这里我们可以把这两条线路（两对x,y）放到一个四维数组中去。
（ps:想不明白四维数组长啥样没关系，理解为两对x,y坐标拆开来看即可）

再来看看传纸条的流程

• 对于每次传纸条中的每一条线路,都有向下或向右走2种走法
• 那么对于两条线路就有2*2=4种走法
• 所以我们的转移方程如下:

  //比较线路1的前一步最大值
  int compare1=Math.max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1]);
  //比较线路2的前一步最大值
  int compare2=Math.max(dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1]);
  //更新最大值
  dp[x1][y1][x2][y2]=Math.max(compare1,compare2)+room[x1][y1]+room[x2][y2];

完整代码如下：

import java.util.*;
public class 传纸条 {
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int m=sc.nextInt();
        int n=sc.nextInt();
        int[][] room=new int[m+1][n+1];
        int[][][][] dp=new int[m+1][n+1][m+1][n+1];
        for(int i=1;i<=m;i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                room[i][j] = sc.nextInt();
        }


        for(int x1=1;x1<=m;x1++){
            for(int y1=1;y1<=n;y1++){
                for(int x2=1;x2<=m;x2++){
                    for(int y2=1;y2<=n;y2++){
                        //两个位置相遇了则跳过本次循环
                        if((x1<m||y1<n)&&x1==x2&&y1==y2)
                            continue;

                        //比较线路1的前一步值
                        int compare1=Math.max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1]);
                        //比较线路2的前一步值
                        int compare2=Math.max(dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1]);
                        //更新最大值
                        dp[x1][y1][x2][y2]=Math.max(compare1,compare2)+room[x1][y1]+room[x2][y2];
                    }
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[m][n][m][n]);
    }
}