蓝桥杯 算法训练 数的划分——动态规划

问题描述
　　将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。
　　例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。
　　1，1，5; 1，5，1; 5，1，1;
　　问有多少种不同的分法。
输入格式
　　n，k
输出格式
　　一个整数，即不同的分法
样例输入
7 3
样例输出
4 {四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;}

注意一下：输出后面的{}就是一个注释而已，实际只需要输出4就可了

这道题虽然看着简单，找到状态方程我也是参考了不少解答才想明白，害，算法还是得多练，否则脑袋转不过来。

首先我们要建立存放结果的数组，dp[n][k],对数字n的k种划分情况
这道题是个不重复问题的关键点在于怎么处理1，我们需要对划分结果存在1与不存在1的情况进行分别思考。举个例子（这个例子想不明白的可以把这题想象成把n个球装进k个不同的盒子之类的问题）。
①、现在我进行3的两种划分，那么划分结果就是{1,2}，假如我在后面加一个1，变成了{1,2,1}，那么它就变成了4的3种划分。由此展开，抽象成代码(eg:4的3种划分)，那么此种情况下就有

dp[n][k]=dp[n-1][k-1]

②、（复读一遍）现在我进行3的两种划分，那么划分结果就是{1,2}，如果我们将3的两种划分这种情况的每个划分结果+1，那么{1,2}就变成了{2,3}，即5的 两种划分。这种情况意味着什么：即对于划分结果(eg:5的两种划分)中每一种结果大于2的，我们将它的每个值-1也不会影响到最终的划分 结果数。那么由此展开，抽象成代码。

dp[n][k]=dp[n-k][k]

于此同时，参考①,就5的划分而言，它还存在{4}+{1}此种划分。
根据①和②我们可以得到状态转移方程

dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]

完整代码如下

import java.util.*;
public class 数的划分 {
	public static void main(String[] args)
	{
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int n=sc.nextInt();
		int k=sc.nextInt();
		int[][] dp=new int[n+1][k+1];//把数字n划分为k个数
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=k;j++){
				if(j>i)
					continue;
				if(j==i || j==1)
					dp[i][j]=1;
				else if
					/*两种情况
					1.将前一个数字的j划分的最后一个值添加一个1，即为当前数字的j+1划分的方案
					2.如果不是1则说明前数字的划分中每个数字至少为2，那么我们把当前数字i-j
					*/
					dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];

			}
		System.out.println(dp[n][k]);
	}
}