动态规划-多重背包系列

本文将对背包问题中的第三类背包问题——多重背包进行描述并给出相关例题

问题描述：有n件物品和一个容量为m的背包，第i件物品最多只有n[i]件可用，每件体积为w[i]，每件的价值为v[i]，求解将哪些物品放入背包中可使不超过背包容量并且价值最大？

分析：对于第i件物品可以选0件，1件，……n[i]件

状态转移方程：f(i,v) = max{f(i-1,v),f(i-1,v-k*w[i])+k*v[i]}，其中k从1….n[i]

可以画出二维数组图辅助理，这里因为和之前的博客01背包、完全背包问题类似，不再赘述。

伪代码实现如下：（三层循环，时间复杂度较高）

for i=1.....n
    for j = 1....m+1
        for k = 0...n[i]
            if j - k*w[i] > 0
                int a = dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]
                dp[i][j] = max{a,dp[i-1][j]}

鉴于时间复杂度、空间复杂度过高，进行优化，之前的01背包问题和完全背包问题也可以对空间复杂度进行优化，可以将二维数组转换成一维数组。

优化方法：
将i件物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这些物品的费用和价值乘以原来的费用和价值乘以这个系数，使这些系数分别为1，2，4，，，，，2^（k-1）,n[i]-2^k+!,其中k满足n[i]-2^k+!>0的最大整数。例如n[i]=13，将物品分为1，2，4，6系数的四种物品。这些系数可以组成任何不超过n[i]的整数。

伪代码：

mulitipack(cost,weight,amount)
    if cost * weight >= amount
        completePack(cost,weight)
        return
    Integer k = 1
    while k <= num
        zeroOnePack(k*cost,k*weight)
        amount = amount - k;
        k = k*2
    zeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

例题：

问题描述：设有那种不同面值的硬币，各种硬币的面值存在于数组T[1….N]中，现要用这些面值的硬币找零，可以使用的各种面值的硬币数存在与coins[1…N]中，对于任意钱数，设计一个最少硬币找零m的方法。

未完待续。。。