[ZJOI2014]力，洛谷P3338，FFT

最新推荐文章于 2019-10-30 19:00:46 发布

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本文深入探讨了快速傅立叶变换(FFT)算法在多项式乘法中的应用，通过实例讲解了如何利用FFT进行高效的计算，并提供了详细的代码实现，帮助读者理解FFT的工作原理及其在实际问题中的运用。

正题

这题是我做过的最正经的FFT了。

其实 $E_j=\sum_{i<j}\frac{q_i}{(i-j)^2}+\sum_{i>j}\frac{q_i}{(i-j)^2}$

出题人很良心，已经帮你把它拆开了。

我们设 $g[k]=\frac{1}{k^2}$

那么 $E_j=\sum_{i<j}q_i*g[j-i]+\sum_{i>j}q_i*g[i-j]$

前面的很明显是一个多项式乘法把，后面令 $Q[n-1-i]=q[i]$ ，那么令 $e[j]=E[n-1-j]$ ，然后多项式乘法就可以了。

$i<j,i>j$ 这些限制可以丢掉，因为不满足的时候没有值，特殊的，我们只需要令 $g[0]=0$ 就可以了。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn=3e6;
struct complex{
	double x,y;
	complex operator+(const complex a)const {return (complex){x+a.x,y+a.y};}
	complex operator-(const complex a)const {return (complex){x-a.x,y-a.y};}
	complex operator*(const complex a)const {return (complex){x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x};}
}q[maxn+10],Q[maxn+10],g[maxn+10];
int n,l,lim;
int where[maxn+10];
const double Pi=acos(-1.0)*2.0;

void dft(complex *now,int idft){
	for(int i=0;i<lim;i++) if(where[i]>i) swap(now[i],now[where[i]]);
	complex wn,w,a,b;
	for(int l=2;l<=lim;l*=2){
		wn=(complex){cos(Pi/l),idft*sin(Pi/l)};
		for(int i=0;i<lim;i+=l){
			w=(complex){1,0};
			for(int x=i,y=i+l/2;y<i+l;x++,y++,w=w*wn){
				a=now[x],b=now[y]*w;
				now[x]=a+b;
				now[y]=a-b;
			}
		}
	}
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&q[i].x),Q[n-1-i].x=q[i].x;
	g[0].x=0;l=0;lim=1;
	while(lim<2*n-1) lim*=2,l++;
	for(int i=1;i<n;i++) g[i].x=1.0/i/i;
	for(int i=0;i<lim;i++) where[i]=((where[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
	dft(q,1);dft(g,1);dft(Q,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) q[i]=q[i]*g[i],Q[i]=Q[i]*g[i];
	dft(q,-1);dft(Q,-1);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%lf\n",q[i].x/lim-Q[n-1-i].x/lim);
}