[SCOI2014]方伯伯运椰子，洛谷P3288，分数规划+判断负权环

最新推荐文章于 2020-07-11 14:22:24 发布

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本文探讨了在图论中如何使用最小费用流算法结合二分法解决特定类型的流量平衡问题。通过构建两类边，实现环的边权和计算，并利用二分查找确定最优解。适用于算法竞赛及图论研究。

正题

题目链接点这

如果我们给一条边加1的流量，那么费用是不是多了 $a+d$ ，给一条边减1的流量，那么费用多了 $b-d$ 。

这两个都是挺明显的吧。

考虑怎么保证流量平衡。

设原边为 $(x_i,y_i,a_i,b_i,c_i,d_i)$ 。

那么建两条边， $(x_i,y_i,b_i+d_i),(y_i,x_i,a_i-d_i)$ ，现在改一个环就可以使得流量平衡。

为什么？

假设这个环先走了一段一类边，再走了一段二类边，然后再走了一段一类边。。。。。。

那么在一类边的交点和二类边的交点的流量都是平衡的，二类边相当于反向边。画图看一下就明白了。

好,那么这个环的边权和就是 $Y-X$ 。但是题目要我们求 $max(\frac{X-Y}{k})$ 。

k为环的大小。

我们二分一个mid

然后令这个东西大于mid，看看发生什么。

$\\\frac{X-Y}{k}>mid \\\to X-Y>mid*k \\\to mid*k+Y-X<0$

因为Y-X是环的边权和，所以 $\\mid*k+\sum_{i=1}^k w_i<0 \\\to \sum_{i=0}^k (w_i+mid)<0$ 。

令新边权为 $w_i+mid$ ，若能求出一个负环，那么说明答案比mid大，否则答案小于等于mid。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int n,m;
struct new_edge{
	int y,next;
	double c;
}s[60010];
int first[5010],len=0;
double dis[5010];
bool tf[5010];

void ins(int x,int y,double c){
	len++;
	s[len]=(new_edge){y,first[x],c};first[x]=len;
}

bool dfs(int x,double temp){
	tf[x]=true;
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
		int y=s[i].y;
		if(dis[y]>dis[x]+s[i].c+temp){
			if(tf[y]) return true;
			dis[y]=dis[x]+s[i].c+temp;
			if(dfs(y,temp)) return true;
		}
	}
	return tf[x]=false;
}

int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int x,y,a,b,c,d;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %d %d %d %d",&x,&y,&a,&b,&c,&d);
		ins(x,y,b+d);
		if(c) ins(y,x,a-d);
	}
	double l=0,r=1e7;
	while(r-l>=1e-3){
		for(int i=1;i<=n+2;i++) dis[i]=1e9,tf[i]=false;
		dis[n+1]=0;
		double mid=(l+r)/2;
		if(dfs(n+1,mid)) l=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%.2lf",l);
}