[SDOI2017]新生舞会，洛谷P3705，分数规划+二分图最优匹配

最新推荐文章于 2021-12-11 15:58:55 发布

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本文探讨了如何通过二分图带权匹配算法解决特定矩阵排列问题，使用C++实现了一个基于Kuhn-Munkres算法的解决方案，通过二分查找优化最大权匹配。

正题

题目链接点这里

给出两个矩阵a,b，都表示i和j之间的权值，要求构造一个排列P，使得 $\frac{\sum_{i=1}^na_{i,pi}}{\sum_{i=1}^nb_{i,pi}}$ 最大。

我们来二分一个mid，使得 $\frac{\sum_{i=1}^na_{i,p_i}}{\sum_{i=1}^nb_{i,p_i}}>=mid$ ，然后变形，

$\\\sum_{i=1}^na_{i,p_i}>=mid\sum_{i=1}^nb_{i,p_i} \\ \to\sum_{i=1}^na_{i,p_i}>=\sum_{i=1}^nb_{i,p_i}*mid \\ \to\sum_{i=1}^na_{i,p_i}-b_{i,p_i}*mid>=0$

那么我们就构造一个排列P使得 $\sum_{i=1}^na_{i,p_i}-b_{i,p_i}*mid>=0$

发现是一个二分图带权匹配，因为相当于从i到j建一条权为 $a_{i,j}-b_{i,j}*mid$ 的边。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int n;
int a[110][110],b[110][110];
double g[110][110];
double tx[110],ty[110];
int prep[110];
bool visx[110],visy[110];

bool find(int x){
	visx[x]=true;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(tx[x]+ty[i]==g[x][i] && !visy[i]){
			visy[i]=true;
			if(prep[i]==0 || find(prep[i])){
				prep[i]=x;
				return true;
			}
		}
	return false;
}

double KM(){
	memset(tx,0,sizeof(tx));
	memset(ty,0,sizeof(ty));
	memset(prep,0,sizeof(prep));
	double mmin=1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(1){
			memset(visx,false,sizeof(visx));
			memset(visy,false,sizeof(visy));
			if(find(i)) break;
			mmin=1e9;
			for(int j=1;j<=n;j++) if(visx[j])
				for(int k=1;k<=n;k++) if(!visy[k]) mmin=min(mmin,tx[j]+ty[k]-g[j][k]);
			for(int j=1;j<=n;j++) if(visx[j]) tx[j]-=mmin;
			for(int j=1;j<=n;j++) if(visy[j]) ty[j]+=mmin;
		}
	}
	double ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=g[prep[i]][i];
	return ans;
}

bool check(double x){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			g[i][j]=a[i][j]-b[i][j]*x;
	return KM()>=0;
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&b[i][j]);
	double l=0,r=1e4;
	while(r-l>=1e-7){
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%lf",l);
}