学习笔记第二十四节：分数规划

最新推荐文章于 2025-10-27 20:23:44 发布

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本文探讨了01分数规划问题的解决思路，通过引入二分法简化复杂度，为解决涉及两个或多个关键字的分数最优化问题提供了新视角。以生成树边权比最小化为例，展示了二分加判定的高效解决方案。

正题

好像大部分都是01分数规划？

它是解决这样的问题的，求 $min(\frac{\sum_{i=1}^na_i*x_i}{\sum_{i=1}^nb_i*x_i}),x_i=0\ or\ 1$

怎么做？

好像很麻烦。

我们来二分一个数k，

然后让这堆东西小于等于k，就变成了这个样子

$\\\frac{\sum_{i=1}^na_i*x_i}{\sum_{i=1}^nb_i*x_i}<=k \\\to\sum_{i=1}^na_i*x_i<=\sum_{i=1}^nb_i*x_i*k \\\to(\sum_{i=1}^na_i-b_i*k)*x_i<=0$

所以，贪心取 $a_i-b_i*k<=0$ 的就行了。

好像把简单的问题复杂化了。

其实每次我们就是判断是否有 $a_i-b_i*k<=0$ ，也就是说，我们判断的是是否有 $\frac{a_i}{b_i}<=k$ 。

那么不是可以直接输出 $min_{i=1}^n(\frac{a_i}{b_i})$ 就可以了？

是的你没有错。

这个东西好像没有用啊。

但是它为我们提供了一种解决这种问题的思考方向。

比如说，给出n个点m条边，要你求一棵生成树使得边权a值之和除以边权b值之和最小。

向上面说的，二分+判定即可。

也就是说，在很多时候，我们遇到有两个或者多个关键字的分数最优化的情况，可以用分数规划的思想，先考虑二分。

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