CF2103F Maximize Nor

题解

首先观察这个 nor 操作的答案是什么？

按位处理，假设 $r$ 前的最后一个 $1$ 位置为 $x$ 。

• 若 $x\ge l$ ，那么当 $x,r$ 的奇偶性相同时答案为 $1$ ，否则为 0 .

• 若 $x<l$，那么当 $l,r$ 的奇偶性不同时答案为 1 ，否则为 0 .

考虑 $l=r\text{ or }r-1$ ，一直向前跳相同奇偶性的位置，发现答案只会至多改变一次，也就是对于右端点 $r$ 固定来说，不同的区间 $nor$ 实际上只有 $4k$ 种。

将奇偶位置拆分，可以通过对于差分和关键点排序的方法来求出对于右端点 $r$ 的每个左端点区间的答案。即维护了很多四元组 $(0/1,p_{r,i},r,v)$ ，$0/1$ 代表奇偶性， $p_{r,i}$ 表示 $r$ 的相同nor值第 $i$ 个左端点区间的右端点，$v$ 表示值。

接着，从小到大枚举 $i$ 计算答案，对于每个 $r$ 维护 奇/偶 两个指针表示当前的 $i$ 在哪一个左端点区间，再对奇偶位置分别维护线段树，假如进入了新的区间且值增大了，那么就修改对应奇偶线段树的第 $r$ 个位置的值，查询相当于后缀 $\max$ 。

时间复杂度 $O(nk(\log n+\log k))$ 。