苏州国决前集训Day9 模拟测试T2

最新推荐文章于 2025-07-31 17:09:58 发布

原创最新推荐文章于 2025-07-31 17:09:58 发布 · 319 阅读

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该博客探讨了如何计算长度为n的整数序列在[1,m]范围内随机分布时，最长连续等子段长度的期望值，并给出了一种O(nlnn)时间复杂度的解决方案。通过前缀和优化和组合数学的方法，计算不同长度子段的方案数，最终求得期望值并模p得到答案。

有一个长度为 $n$ 的整数序列，每个元素在 $[1, m]$ 中独立均匀随机，求序列的最长连续等子段长度期望长度乘 $m^n$ ，对输入的质数 $p$ 取模。

例如， ${1,2,2,2,3,3,3,3,2,2,1\}$ 的最长连续等子段长度为 $4$ 。

$prime1\leq n\leq 3*10^5,1\leq m\leq 10^8,0.99*10^9\leq p\leq 1.01*10^9,and \ p\ is\ a\ prime$

思路和题解基本一样。

考虑计算 $max⁡≤k\max \leq k$ 的方案数。

设 $f [i]$ 表示前 $i$ 个的方案数，显然有转移 $f[0]=mm−1,f[i]=∑j=max(0,i−k)i−1f[j]f[0]=\frac{m}{m-1},f[i]=\sum_{j=max(0,i-k)}^{i-1} f[j]$

前缀和优化即可得到 $S[0]=mm−1,S[i]=mS[i−1]+(1−m)S[i−k−1]S[0]=\frac{m}{m-1},S[i]=mS[i-1]+(1-m)S[i-k-1]$

考虑组合意义，枚举跳 $k + 1$ 步的次数即可在 $O(nln⁡n)O(n\ln n)$ 时间内得到答案，至于 $f [0]$ 为什么这么奇怪，因为第一步转移应该乘的是 $m$ 而不是 $m - 1$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=300010;
int n,m,mod,fac[N],inv[N];

int ksm(int x,int t){
	int tot=1;
	while(t){
		if(t&1) tot=1ll*tot*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}

int C(int x,int y){
	return 1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}

int main(){
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&mod);
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
	int ans=ksm(m,n),t=ksm(m,n);
	for(int k=1;k<=n;k++){
		int tot=0;
		for(int a=0;a*(k+1)<=n;a++)
			tot=(tot+1ll*ksm(1+mod-m,a)*ksm(m,n-a*(k+1))%mod*C(n-a*k,a))%mod;
		for(int a=0;a*(k+1)<n;a++)
			tot=(tot+mod-1ll*ksm(1+mod-m,a)*ksm(m,n-1-a*(k+1))%mod*C(n-1-a*k,a)%mod)%mod;
		tot=1ll*tot*ksm(m-1,mod-2)%mod*m%mod;
		ans=(1ll*ans+t+mod-tot)%mod;
	}
	printf("%d",ans);
}