杜教筛详解

正题

杜教筛是用来解决某些积性函数求前缀和的问题的。

例如求 ${\sum }_{i=1}^n\mu (i)$ 或者 ${\sum }_{i=1}^n\phi (i)$ 。

下面我们以 ${\sum }_{i=1}^n\mu (i)$ 为例子，详细说说杜教筛到底是如何运作的。

有 $\mu \ast 1=e$ ，那么可以得到 ：$$1=\sum _{i=1}^{n}e(i)=\sum _{i=1}^n\mu (i)\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }1(j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\mu (j)=\sum _{i=1}^{n}F(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

可以推出：$$F(n)=1-\sum _{i=1}^{n-1}F(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

可以发现，只需要我们知道所有 $F(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$ 的前缀和，就可以知道花费 $O(\sqrt{n})$ 的时间就可以知道 $F(n)$ 的前缀和。

另外，还有式子 $\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }{j}\rfloor =\lfloor \frac{n}{ij}\rfloor$，所以递归做的话，总共要求的不同的前缀和一共有 $O(\sqrt{n})$ 个。

时间复杂度便是 ${\sum }_{i=1}^{\sqrt{n}}\sqrt{i}+\sqrt{\frac{n}{i}}$。

由于前面必然小于后面，所以我们先将前面忽视。

${\sum }_{i=1}^{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{n}{i}}\le {\int }_0^{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{n}{i}}di=2n^{\frac{3}{4}}$

发现这样还是好慢，考虑$\le B$的前缀和直接预处理，那么时间复杂度就变为 $B+{\sum }_{i=1}^{\frac{n}{B}}\sqrt{\frac{n}{i}}\le {\int }_0^{\frac{n}{B}}\sqrt{\frac{n}{i}}di=O(B+\frac{n}{\sqrt{B}})$ ，容易知道当 $B=O(n^{\frac{2}{3}})$ 时有最优复杂度 $O(n^{\frac{2}{3}})$。

总结上述步骤，我们发现，可以使用杜教筛来求解积性函数 $f$ 前缀和当且仅当：
1.存在 $g,h$ ，满足 $f\ast g=h$
2. 时间复杂度实际上是 $g,h$ 求解关键点（即 $\frac{n}{i}$ ）前缀和的时间与 $n^{\frac{2}{3}}$ 取 $\max$。