二次剩余详解

正题

$(\frac{a}{p})$ 记为勒让德符号，$p$ 是一个奇素数。

$(\frac{a}{p})=1$ 表示 $a$ 是模 $p$ 域下的二次剩余，$(\frac{a}{p})-1$ 表示是二次非剩余，$(\frac{a}{p})=0$ 表示 $a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

计算方法（欧拉准则）：$(\frac{a}{p})=a^{\frac{p-1}{2}}$

证明：

考虑 $a$ 只有两种形式：$a=g^{2k}\text{or}{g}^{2k+1}(k\in [0,\frac{p-1}{2}))$，前者一定有解，后者一定无解，其中 $g$ 为原根。

因为 $g^{\frac{1}{2}}$ 在 $(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 不存在，这个可以用反证法证明：假设存在，$g^{\frac{1}{2}}=b$，那么 $g^{\frac{p-1}{2}}=1$，与原根的性质矛盾。

必要性显然，所以我们可以直接用 $(\frac{a}{p})$ 来判定 $a$ 是属于哪一种情况。

二次互反律

对于奇质数 $p,q$ ，有 $(\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1{)}^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$。

Cipolla 算法

要求 $x^2\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 的解（满足 $n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ ）。 随机一个 $a$ 使得 $a^2-n$ 是二次非剩余，即 $(a^2-n{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 。设 $\omega =\sqrt{a^2-n}$ 。可证 $x+y\omega$ 构成一个域。 构造得二次剩余的解为 $(a+\omega {)}^{\frac{p+1}{2}}$ 。

证明：$$\begin{gathered} (a+\omega {)}^{p+1} \\ \equiv (a^p+{\omega }^p)(a+\omega ) \\ \equiv (a+{\sqrt{a^2-n}}^{p-1}\sqrt{a^2-n})(a+\omega ) \\ \equiv (a-\omega )(a+\omega ) \\ \equiv a^2-a^2+n\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \end{gathered}$$

并且 $(a+\omega {)}^{\frac{p+1}{2}}$ 不存在 $\omega$ 项：设 $(x+y\omega {)}^2\equiv x^2+y^2(a^2-n)+2xy\sqrt{a^2-n}\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ ，则有 $xy\equiv 0$ 。若 $y\ne 0$ 则有 $a^2-n\equiv \frac{n}{y^2}$ ，左边没有二次剩余而右边有。矛盾。