[1007]倍杀测量者,洛谷P4926,差分约束

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本文探讨了一种新颖的方法，使用图论和最短路径算法解决特定问题。通过引入虚拟点和调整边的权重，将乘法转换为加法，从而简化了寻找正环的过程。这种方法不仅适用于解决复杂的关系问题，还能够有效地避免负权重环，确保算法的正确性和效率。

正题

还没听说过可以靠新建点来维护确定点之间的关系.

十分的牛.

有很多类似这样的条件:

$\frac{c_A}{c_B}>k-T\ ||\ \frac{c_A}{c_B}>=\frac{1}{k+T}$

为了不麻烦,我们可以换成>=号:

$\frac{c_A}{c_B}>=k-T+eps\ ||\ \frac{c_A}{c_B}>=\frac{1}{k+T}$

显然这个T是单调的而且最大值不能超过条件1中最小的k,因为题目没有定义非正数倍杀.

于是,我们从B向A连边即可,边的权值为右边的值的大小.

对于确定权值的点,我们新建一个点0,相当于满足: $x<=\frac{c_A}{c_0}<=x$ ,可以发现c_0就是基准点,可以保证确定点之间的相对大小,所以这个东西就是对的,如果题目要我们读出每个点的权值,那么我们可以输出 $\frac{c_x}{c_0}$ .这种建图十分的优美.

如果满足条件每个人都可以找到一个合适的权值,那么就没有人需要穿女装,找不到权值当且仅当跑最长路的时候找到了>1环.

这样就可以通过此题,当然也可以用ln将乘法换成加法,那么就变成了找正环.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1010;
int n,m,t;
struct edge{
	int y,nex,op;
	double c;
}s[N<<1];
int first[N],len=0;
int qs[2000010],st,ed,pas[N];
bool vis[N];
double dis[N];

void ins(int x,int y,double c,int op){
	s[++len]=(edge){y,first[x],op,c};first[x]=len;
}

bool check(double T){
	st=1;ed=0;
	for(int i=0;i<=n;i++) dis[i]=0,vis[i]=true,qs[++ed]=i,pas[i]=0;
	while(st<=ed){
		int x=qs[st++];vis[x]=false;pas[x]++;
		if(pas[x]==n+2) return true;
		for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].nex){
			double w;
			if(s[i].op==1) w=log2(s[i].c-T);
			else if(s[i].op==2) w=-log2(s[i].c+T);
			else w=s[i].c;
			if(dis[s[i].y]<dis[x]+w){
				dis[s[i].y]=dis[x]+w;
				if(!vis[s[i].y]) qs[++ed]=s[i].y,vis[s[i].y]=true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int main(){
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&t);
	int x,y,op;
	double c;
	double l=0,r=1e18,ans=-1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %d %lf",&op,&x,&y,&c);
		if(op==1) ins(y,x,c-1e-6,1),r=min(r,c-1e-6);
		else ins(y,x,c,2);
	}
	for(int i=1;i<=t;i++) {
		scanf("%d %lf",&x,&c);
		ins(0,x,log2(c),0),ins(x,0,-log2(c),0);
	}
	while(r-l>=1e-6){
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid)) l=ans=mid;
		else r=mid;
	}
	if(ans==-1) printf("-1\n");
	else printf("%.6lf\n",ans);
}