时间跳跃，MtOI2019，Dp

最新推荐文章于 2022-11-30 00:00:00 发布

原创最新推荐文章于 2022-11-30 00:00:00 发布 · 303 阅读

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本文探讨了一种使用动态规划(DP)方法解决特定几何组合问题的策略，即判断能否通过给定边长构成多边形，并计算可能的组合数量。文章详细介绍了DP状态定义、转移方程及优化技巧，实现了一个高效的解决方案。

正题

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很容易想到如果最小k-1条边之和>最大那条边，那么就可以构成一个k边形。

否则显然构不成一个多边形。

那么很容易可以想到Dp： $f[i][j]$ 表示用j条边构成总长度为i的组合有多少种，转移显然，时间复杂度就是 $O(n^3)$ ，可以获得80分的好成绩。

发现并不需要记下那么多东西，用 $w[i]$ 表示组成总长度为i的方案数， $g[i]$ 表示组成总长度为i的权值和。

转移的时候也是很容易的。

那么就相当于做01背包，然后顺便预处理一下前缀和就可以了。

选出一个子集代价为自己大小的总和为 $n*2^{n-1}$ ，这个可以从每一个考虑。

居然没想到这种Dp，发现自己Dp好菜。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long f[5010],w[5010],ans[5010],T,n;
const long long mod=1e9+7;
long long fac[5010],inv[5010];

long long ksm(long long x,long long t){
	long long tot=1;
	while(t){
		if(t&1) (tot*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}

long long C(int x,int y){
	return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}

int main(){
	f[0]=1;
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=5000;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[5000]=ksm(fac[5000],mod-2);for(int i=4999;i>=0;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i=1;i<=5000;i++){
		ans[i]=ans[i-1];for(int j=0;j<=i;j++) ans[i]+=w[j]+f[j];ans[i]%=mod;
		for(int j=5000-i;j>=0;j--)
			f[j+i]+=f[j],w[j+i]+=w[j]+f[j],
			w[j+i]%=mod,f[j+i]%=mod;
	}
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\n",(n*ksm(2,n-1)%mod-ans[n]+mod)%mod*ksm(2,1ll*n*(mod-2)%(mod-1))%mod);
	}
}