密码学大作业

RSA大礼包破解报告

一、题目描述及背景介绍

RSA 密码算法是使用最为广泛的公钥密码体制。该体制简单且易于实现，只需要选择 5 个参数即可（两个素数$p$和$q$、模数$N=pq$，加密指数𝑒和解密指数𝑑）。设𝑚为待加密消息，RSA 体制破译相当于已知$m^e(\mathrm{mod}N)$，能否还原𝑚的数论问题。目前模数规模为 2048 比特的RSA 算法一般情况下是安全的，但是如果参数选取不当，同样存在被破译的可能。

有人制作了一个 RSA 加解密软件（采用的 RSA 体制的参数特点描述见密码背景部分）。已知该软件发送某个明文的所有参数和加密过程的全部数据（加密案例文件详见附件 3-1）。Alice 使用该软件发送了一个通关密语，且所有加密数据已经被截获，请问能否仅从加密数据恢复该通关密语及 RSA 体制参数？如能请给出原文和参数，如不能请给出已恢复部分并说明剩余部分不能恢复的理由？

1.1 RSA密码算法体制参数选取以及加解密过程

RSA 体制参数选取

1. 每个使用者，任意选择两个大素数𝑝和𝑞，并求出其乘积$N=pq$
2. 令Font metrics not found for font: .，选择整数𝑒，使得Font metrics not found for font: .，并求出𝑒模𝜑(𝑁)的逆元𝑑，即Font metrics not found for font: ..
3. 将数对(𝑒, 𝑁)公布为公钥，𝑑保存为私钥。

加解密过程

Bob 欲传递明文𝑚给 Alice，则 Bob 首先由公开途径找出 Alice 的公钥(𝑒, 𝑁)，Bob 计算加密的信息𝑐为：$c\equiv m^e(\mathrm{mod}N)$。

Bob 将密文𝑐传送给 Alice。随后 Alice 利用自己的私钥𝑑解密：$c^d\equiv (m^e{)}^d\equiv m^{ed}\equiv m(\mathrm{mod}N)$。

1.2 注意点：

1） 模数𝑁 = 𝑝𝑞规模为 1024 比特，其中𝑝，𝑞为素数；

2） 素数𝑝由某一随机数发生器生成；

3） 素数𝑞可以随机选择，也可以由 2) 中的随机数发生器产生；

4） 可以对文本加密，每次加密最多 8 个明文字符；

5） 明文超过 8 个字符时，对明文分片，每个分片不超过 8 个字符；

6） 分片明文填充为 512 比特消息后再进行加密，填充规则为高位添加 64 比特标志位，随后加上 32 比特通信序号，再添加若干个 0，最后 64 比特为明文分片字符对应的 ASCII 码（注：填充方式参见加密案例，但注意每次通信的标志位可能变化）；

7） 分片加密后发送一个加密帧数据，帧数据文件名称为 FrameXX，其中 XX 表示接收序号，该序号不一定等于通信序号；

8） 帧数据的数据格式如下，其中数据都是 16 进制表示，结构如下
$$1024bit模数N|1024bit加密指数e|1024bit密文m^e(\mathrm{mod}N)$$

9） 由于 Alice 初次使用该软件，可能会重复发送某一明文分片。

1.3 研究现状

RSA 的安全性是基于大整数素因子分解的困难性，而大整数因子分解问题是数学上的著名难题。数域筛法是目前 RSA 攻击的首选算法。在 1999 年，一台 Cray 超级电脑用了 5 个月时间分解了 512 比特长的密钥。在 512 比特 RSA 算法破解 10 年之后,即 2009 年 12 月 9 日，768比特 RSA 算法即 232 数位数字的 RSA-768 被分解。分解一个 768 比特RSA 密钥所需时间是 512 位的数千倍，而 1024 比特所需时间则是 768比特的一千多倍，因此在短时间内 1024 比特仍然是安全的。除此之外，目前对于 RSA 算法的攻击主要有以下方式:选择密文攻击、公共模数攻击、低加密密指数攻击、低解密指数攻击、定时攻击等等，详细的 RSA 安全分析参见有关文献。

二、针对赛题的攻击

首先用现有的分解大整数的方法对所有的模数进行测试

2.1 费马分解法：

费马分解法用于p与q相近的n，注意到$(p+q{)}^2-4n=(p-q{)}^2$，那么我们可以得知$(p+q)/2$与$\sqrt{N}$接近，，通过爆破这个差值能够容易地计算出p+q，从而分解n。

from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import iroot
nec = open(f"./Frame14",'r').read()

n = int(nec[:len(nec)//3],16)
e = int(nec[len(nec)//3:len(nec)//3*2],16)
c = int(nec[len(nec)//3*2:],16)

a = iroot(n,2)[0]+1
for i in range(a,a+100000000):
    if iroot(i**2 - n,2)[1]:
        b = iroot(i**2 - n,2)[0]
        p = (i+b)
        q = (i-b)
        print(p)
        print(q)
        break

d = inverse(e,(p-1)*(q-1))
print(long_to_bytes(pow(c,d,n)).split(b'\x00')[-1])

2.2 Pollard p-1分解

Pollard’s p − 1 算法由John Pollard在1974年提出。这个算法要求N一个因子是$p-1$光滑的，即$p-1$是一些小于$B$的因子的乘积。令整数$a$与$p$互素，根据费马小定理：

$$a^{k(p-1)}=1(\mathrm{mod}p)$$

即$\gcd (a^{k(p-1)}-1,n)$如果不是$1$或者$N$,则一定是$p$的倍数。又因为$p-1$光滑，那么存在$M={\prod }_{q\le B}{q}^{\lfloor {\log }_{q}B\rfloor }$使得$(p-1)|M$。在算法中，考虑$M=N!$既能满足条件又能方便计算。

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Alg 1. Pollard p-1算法

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Input: $N$

Output: $p$

1. $a=2,x=2$

2. while True:

   $a=a^x(\mathrm{mod}N)$

   $res=\gcd (a-1,N)$

   if $res\ne 1$ and $res\ne N$ : return $res$

   $n=n+1$

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这个算法的时间复杂度是$\mathcal{O}(B\log B\cdot {\log }^{2}n)$，选取更大的$B$需要更长的运行时间，更可能成功分解$N$。

# python2
from Crypto.Util.number import long_to_bytes
import gmpy2
nec = open(f"./Frame6",'r').read()

n = int(nec[:len(nec)//3],16)
e = int(nec[len(nec)//3:len(nec)//3*2],16)
c = int(nec[len(nec)//3*2:],16)


def Pollard_p_1(N):
    a =