几种常见排序算法的分析

一、分类与性能

1、稳定排序和非稳定排序

简单地说就是所有相等的数经过某种排序方法后，仍能保持它们在排序之前的相对次序，我们就说这种排序方法是稳定的。反之，就是非稳定的。

比如：一组数排序前是a1,a2,a3,a4,a5，其中a2=a4，经过某种排序后为a1,a2,a4,a3,a5，则我们说这种排序是稳定的，因为a2排序前在a4的前面，排序后它还是在a4的前面。假如变成a1,a4,a2,a3,a5就不是稳定的了。

2、内排序和外排序

在排序过程中，所有需要排序的数都在内存，并在内存中调整它们的存储顺序，称为内排序；

在排序过程中，只有部分数被调入内存，并借助内存调整数在外存中的存放顺序排序方法称为外排序。

3、算法的时间复杂度和空间复杂度

所谓算法的时间复杂度，是指执行算法所需要的计算工作量。

一个算法的空间复杂度，一般是指执行这个算法所需要的内存空间。

二、各类排序算法分析

1、冒泡排序

====================================================

算法思想简单描述：

在要排序的一组数中，对当前还未排好序的范围内的全部数，自上而下对相邻的两个数依次进行比较和调整，让较大的数往下沉，较小的往上冒。即：每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要求相反时，就将它们互换。

下面是一种改进的冒泡算法，它记录了每一遍扫描后最后下沉数的位置k，这样可以减少外层循环扫描的次数。

冒泡排序是稳定的。算法时间复杂度O(n2)--[n的平方]

=====================================================

1. ＃i nclude <iostream.h>
   
2. void BubbleSort(int* pData,int Count)
   
3. {
   
4. int iTemp;
   
5. for(int i=1;i<Count;i++)
   
6.        {
   
7.          for(int j=Count-1;j>=i;j--)
   
8.                 {
   
9.                   if(pData[j]<pData[j-1])
   
10.                             {
    
11.                               iTemp = pData[j-1];
    
12.                               pData[j-1]= pData[j];
    
13.                               pData[j]= iTemp;
    
14.                             }
    
15.                 }
    
16.        }
    
17. }
    
18. void main()
    
19. {
    
20. int data[]={10,9,8,7,6,5,4};
    
21. BubbleSort(data,7);
    
22. for (int i=0;i<7;i++)
    
23.             cout<<data[i]<<" ";
    
24. cout<<"\n";
    
25. }

倒序(最糟情况) 

第一轮：10,9,8,7->10,9,7,8->10,7,9,8->7,10,9,8(交换3次) 

第二轮：7,10,9,8->7,10,8,9->7,8,10,9(交换2次) 

第一轮：7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次) 

循环次数：6次 

交换次数：6次 

其他： 

第一轮：8,10,7,9->8,10,7,9->8,7,10,9->7,8,10,9(交换2次) 

第二轮：7,8,10,9->7,8,10,9->7,8,10,9(交换0次) 

第一轮：7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次) 

循环次数：6次 

交换次数：3次 

       上面我们给出了程序段，现在我们分析它：这里，影响我们算法性能的主要部分是循环和交换，显然，次数越多，性能就越差。从上面的程序我们可以看出循环的次数是固定的，为1+2+...+n-1。写成公式就是1/2*(n-1)*n。 现在注意，我们给出O方法的定义： 

       若存在一常量K和起点n0，使当n>=n0时，有f(n)<=K*g(n),则f(n) = O(g(n))。（呵呵，不要说没 学好数学呀，对于编程数学是非常重要的！！！）

       现在我们来看1/2*(n-1)*n，当K=1/2，n0=1，g(n)=n*n时，1/2*(n-1)*n<=1/2*n*n=K*g(n)。所以f(n) =O(g(n))=O(n*n)。所以我们程序循环的复杂度为O(n*n)。再看交换。从程序后面所跟的表可以看到，两种情况的循环相同，交换不同。其实交换本身同数据源的有序程度有极大的关系，当数据处于倒序的情况时，交换次数同循环一样（每次循环判断都会交换），复杂度为O(n*n)。当数据为正序，将不会有交换。复杂度为O(0)。乱序时处于中间状态。正是由于这样的原因，我们通常都是通过循环次数来对比算法。

2、选择排序

====================================================

算法思想简单描述：

在要排序的一组数中，选出最小的一个数与第一个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小的与第二个位置的数交换，如此循环到倒数第二个数和最后一个数比较为止。

选择排序是不稳定的。算法复杂度O(n2)--[n的平方]

====================================================

1. ＃i nclude <iostream.h>
   
2. void SelectSort(int* pData,int Count)
   
3. {
   
4. int iTemp;
   
5. int iPos;
   
6. for(int i=0;i<Count-1;i++)
   
7. {
   
8.  iTemp = pData[i];
   
9.  iPos = i;
   
10.  for(int j=i+1;j<Count;j++)
    
11.  {
    
12.   if(pData[j]<iTemp)
    
13.   {
    
14.    iTemp = pData[j];
    
15.    iPos = j;
    
16.   }
    
17.  }
    
18.  pData[iPos]= pData[i];
    
19.   pData[i]= iTemp;
    
20.   }
    
21. }
    
22. void main()
    
23. {
    
24. int data[]={10,9,8,7,6,5,4};
    
25. SelectSort(data,7);
    
26. for (int i=0;i<7;i++)
    
27.             cout<<data[i]<<" ";
    
28. cout<<"\n";
    
29. }

倒序(最糟情况) 

第一轮：10,9,8,7->(iTemp=9)10,9,8,7->(iTemp=8)10,9,8,7->(iTemp=7)7,9,8,10(交换1次) 

第二轮：7,9,8,10->7,9,8,10(iTemp=8)->(iTemp=8)7,8,9,10(交换1次) 

第一轮：7,8,9,10->(iTemp=9)7,8,9,10(交换0次) 

循环次数：6次 

交换次数：2次

其他： 

第一轮：8,10,7,9->(iTemp=8)8,10,7,9->(iTemp=7)8,10,7,9->(iTemp=7)7,10,8,9(交换1次) 

第二轮：7,10,8,9->(iTemp=8)7,10,8,9->(iTemp=8)7,8,10,9(交换1次) 

第一轮：7,8,10,9->(iTemp=9)7,8,9,10(交换1次) 

循环次数：6次 

交换次数：3次 

       遗憾的是算法需要的循环次数依然是1/2*(n-1)*n。所以算法复杂度为O(n*n)。我们来看他的交换。由于每次外层循环只产生一次交换（只有一个最小值）。所以f(n)<=n 所以我们有f(n)=O(n)。所以，在数据较乱的时候，可以减少一定的交换次数。

3、直接插入排序

====================================================

算法思想简单描述：

在要排序的一组数中，假设前面(n-1) [n>=2] 个数已经是排好顺序的，现在要把第n个数插到前面的有序数中，使得这n个数也是排好顺序的。如此反复循环，直到全部排好顺序。

直接插入排序是稳定的。算法时间复杂度O(n2)--[n的平方]

=====================================================

1. #include <iostream.h>
   
2. void SelectSort(int* pData,int Count)
   
3. {
   
4. int iTemp;
   
5. int iPos;
   
6. for(int i=0;i<Count-1;i++)
   
7. {
   
8.  iTemp = pData[i];
   
9.  iPos = i;
   
10.  for(int j=i+1;j<Count;j++)
    
11.  {
    
12.   if(pData[j]<iTemp)
    
13.   {
    
14.    iTemp = pData[j];
    
15.    iPos = j;
    
16.   }
    
17.  }
    
18.  pData[iPos]= pData[i];
    
19.   pData[i]= iTemp;
    
20.   }
    
21. }
    
22. void main()
    
23. {
    
24. int data[]={10,9,8,7,6,5,4};
    
25. SelectSort(data,7);
    
26. for (int i=0;i<7;i++)
    
27.             cout<<data[i]<<" ";
    
28. cout<<"\n";
    
29. }

倒序(最糟情况) 

第一轮：10,9,8,7->9,10,8,7(交换1次)(循环1次) 

第二轮：9,10,8,7->8,9,10,7(交换1次)(循环2次) 

第一轮：8,9,10,7->7,8,9,10(交换1次)(循环3次) 

循环次数：6次 

交换次数：3次

其他： 

第一轮：8,10,7,9->8,10,7,9(交换0次)(循环1次) 

第二轮：8,10,7,9->7,8,10,9(交换1次)(循环2次) 

第一轮：7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次)(循环1次) 

循环次数：4次 

交换次数：2次

       上面结尾的行为分析事实上造成了一种假象，让我们认为这种算法是简单算法中最好的，其实不是，因为其循环次数虽然并不固定，我们仍可以使用O方法。从上面的结果可以看出，循环的次数f(n)<= 1/2*n*(n-1)<=1/2*n*n。所以其复杂度仍为O(n*n)（这里说明一下，其实如果不是为了展示这些简单排序的不同，交换次数仍然可以这样推导）。现在看交换，从外观上看，交换次数是O(n)（推导类似选择法），但我们每次要进行与内层循环相同次数的‘=’操作。正常的一次交换我们需要三次‘=’ 而这里显然多了一些，所以我们浪费了时间。

       个人认为在简单排序算法中，选择法是最好的。

4、希尔排序

====================================================

算法思想简单描述：

在直接插入排序算法中，每次插入一个数，使有序序列只增加1个节点，并且对插入下一个数没有提供任何帮助。如果比较相隔较远距离（称为增量）的数，使得数移动时能跨过多个元素，则进行一次比较就可能消除

多个元素交换。D.L.shell于1959年在以他名字命名的排序算法中实现了这一思想。算法先将要排序的一组数按某个增量d分成若干组，每组中记录的下标相差d.对每组中全部元素进行排序，然后再用一个较小的增量对它进行，在每组中再进行排序。当增量减到1时，整个要排序的数被分成

一组，排序完成。

下面的函数是一个希尔排序算法的一个实现，初次取序列的一半为增量，以后每次减半，直到增量为1。

希尔排序是不稳定的。

===================================================== 

这个排序非常复杂，看了程序就知道了。 首先需要一个递减的步长，这里我们使用的是9、5、3、1（最后的步长必须是1）。工作原理是首先对相隔9-1个元素的所有内容排序，然后再使用同样的方法对相隔5-1个元素的排序，以次类推。 

1. ＃i nclude <iostream.h>
   
2. void ShellSort(int* pData,int Count)
   
3. {
   
4. int step[4];
   
5. step[0]= 9;
   
6. step[1]= 5;
   
7. step[2]= 3;
   
8. step[3]= 1;
   
9. int i,Temp;
   
10. int k,s,w;
    
11. for(int i=0;i<4;i++)
    
12.            {
    
13.              k = step[i];
    
14.              s = -k;
    
15.             for(int j=k;j<Count;j++)
    
16.                        {
    
17.                          iTemp = pData[j];
    
18.                          w = j-k;//求上step个元素的下标
    
19.                          if(s==0)
    
20.                                      {
    
21.                                        s =-k;
    
22.                                        s++;
    
23.                                        pData[s]= iTemp;
    
24.                                      }
    
25.                         while((iTemp<pData[w])&&(w>=0)&&(w<=Count))
    
26.                                      {
    
27.                                        pData[w+k]= pData[w];
    
28.                                        w = w-k;
    
29.                                      }
    
30.                         pData[w+k]= iTemp;
    
31.                      }
    
32.           }
    
33. }
    
34. void main()
    
35. {
    
36. int data[]={10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,-10,-1};
    
37. ShellSort(data,12);
    
38. for (int i=0;i<12;i++)
    
39.             cout<<data[i]<<" ";
    
40. cout<<"\n";
    
41. }

       呵呵，程序看起来有些头疼。不过也不是很难，把s==0的块去掉就轻松多了，这里是避免使用0 步长造成程序异常而写的代码。这个代码我认为很值得一看。这个算法的得名是因为其发明者的名字D.L.SHELL。依照参考资料上的说法：“由于复杂的数学原因避免使用2的幂次步长，它能降低算法效率。”另外算法的复杂度为n的1.2次幂。同样因为非常复杂并 “我也不知道过程"，我们只有结果了。

5、快速排序

====================================================

算法思想简单描述：

快速排序是对冒泡排序的一种本质改进。它的基本思想是通过一趟扫描后，使得排序序列的长度能大幅度地减少。在冒泡排序中，一次扫描只能确保最大数值的数移到正确位置，而待排序序列的长度可能只减少1。快速排序通过一趟扫描，就能确保某个数（以它为基准点吧）的左边各数都比它小，右边各数都比它大。然后又用同样的方法处理它左右两边的数，直到基准点的左右只有一个元素为止。它是由C.A.R.Hoare于1962年提出的。

显然快速排序可以用递归实现，当然也可以用栈化解递归实现。下面的函数是用递归实现的，有兴趣的朋友可以改成非递归的。

快速排序是不稳定的。最理想情况算法时间复杂度O(nlog2n)，最坏O(n2)

=====================================================

1. ＃i nclude <iostream.h>
   
2. void run(int* pData,intleft,intright)
   
3. {
   
4. int i,j;
   
5. int middle,iTemp;
   
6. i = left;
   
7. j = right;
   
8. middle = pData[(left+right)/2];//求中间值
   
9. do{
   
10.         while((pData[i]<middle)&&(i<right))//从左扫描大于中值的数
    
11.                        i++;
    
12.         while((pData[j]>middle)&&(j>left))//从右扫描大于中值的数
    
13.                        j--;
    
14.         if(i<=j)//找到了一对值
    
15.                       {
    
16.                        //交换
    
17.                         iTemp = pData[i];
    
18.                         pData[i]= pData[j];
    
19.                         pData[j]= iTemp;
    
20.                         i++;
    
21.                         j--;
    
22.                       }
    
23. }while(i<=j);//如果两边扫描的下标交错，就停止（完成一次）
    
24. //当左边部分有值(left<j)，递归左半边
    
25. if(left<j)
    
26.           run(pData,left,j);
    
27. //当右边部分有值(right>i)，递归右半边
    
28. if(right>i)
    
29.           run(pData,i,right);
    
30. }
    
31. void QuickSort(int* pData,int Count)
    
32. {
    
33. run(pData,0,Count-1);
    
34. }
    
35. void main()
    
36. {
    
37. int data[]={10,9,8,7,6,5,4};
    
38. QuickSort(data,7);
    
39. for (int i=0;i<7;i++)
    
40.            cout<<data[i]<<" ";
    
41. cout<<"\n";
    
42. }

       这里我没有给出行为的分析，因为这个很简单，我们直接来分析算法：首先我们考虑最理想的情况 

       1.数组的大小是2的幂，这样分下去始终可以被2整除。假设为2的k次方，即k=log2(n)。 

       2.每次我们选择的值刚好是中间值，这样，数组才可以被等分。 

       第一层递归，循环n次，第二层循环2*(n/2)...... 所以共有n+2(n/2)+4(n/4)+...+n*(n/n) = n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n 所以算法复杂度为O(log2(n)*n) 其他的情况只会比这种情况差，最差的情况是每次选择到的middle都是最小值或最大值，那么他将变成交换法（由于使用了递归，情况更糟）。但是你认为这种情况发生的几率有多大？？呵呵，你完全不必担心这个问题。实践证明，大多数的情况，快速排序总是最好的。如果你担心这个问题，你可以使用堆排序，这是一种稳定的O(log2(n)*n)算法，但是通常情况下速度要慢于快速排序（因为要重组堆）。

6、堆排序

====================================================

算法思想简单描述：

堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。

堆的定义如下：具有n个元素的序列（h1,h2,...,hn),当且仅当满足（hi>=h2i,hi>=2i+1）或（hi<=h2i,hi<=2i+1）(i=1,2,...,n/2)时称之为堆。在这里只讨论满足前者条件的堆。

由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最大项。完全二叉树可以很直观地表示堆的结构。堆顶为根，其它为左子树、右子树。

初始时把要排序的数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树，调整它们的存储顺序，使之成为一个堆，这时堆的根节点的数最大。然后将根节点与堆的最后一个节点交换。然后对前面(n-1)个数重新调整使之成为堆。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。

从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。

堆排序是不稳定的。算法时间复杂度O(nlog2n)。

==================================================== 

1. void sift(int*x,int n, int s)
   
2. {
   
3.  int t, k, j;
   
4.  t = *(x+s);
   
5.  k = s;
   
6.  j = 2*k+ 1;
   
7.  while (j
   
8.  {
   
9.   if (j
   
10. < *(x+j+1))*判断是否满足堆的条件：满足就继续下一轮比较，否则调整。*&&*(x+j)/>{
    
11.    j++;
    
12.   }
    
13.     if (t<*(x+j))
    
14.   {
    
15.    *(x+k)=*(x+j);
    
16.    k = j;
    
17.    j = 2*k+ 1;
    
18.   }
    
19.   else
    
20.   {
    
21.    break;
    
22.   }
    
23.  }
    
24.  *(x+k)= t;
    
25. }
    
26. 
    
27. 
    
28. void heap_sort(int*x,int n)
    
29. {
    
30.  int i, k, t;
    
31.  int *p;
    
32.  for (i=n/2-1; i>=0; i--)
    
33.  {
    
34.   sift(x,n,i);
    
35.  }
    
36.  for (k=n-1; k>=1; k--)
    
37.  {
    
38.   t = *(x+0);
    
39.   *(x+0)=*(x+k);
    
40.   *(x+k)= t;
    
41.   sift(x,k,0);
    
42.  }
    
43. }
    
44. 
    
45. void main()
    
46. {
    
47.  #define MAX 4
    
48.  int *p, i, a[MAX];
    
49.  
    
50.  p = a;
    
51.  printf("Input %d number for sorting :\n",MAX);
    
52.  for (i=0; i
    
53.  {
    
54.   scanf("%d",p++);
    
55.  }
    
56.  printf("\n");
    
57.  
    
58.  p = a;
    
59.  select_sort(p,MAX);
    
60.  for (p=a, i=0; i
    
61.  {
    
62.   printf("%d ",*p++);
    
63.  }
    
64.  printf("\n");
    
65.  system("pause");
    
66. }

其他的交换法，双向冒泡法等等就不具体介绍了。

 

三、几种排序算法的比较和选择

1. 选取排序方法需要考虑的因素：

       (1) 待排序的元素数目n；

       (2) 元素本身信息量的大小；

       (3) 关键字的结构及其分布情况；

       (4) 语言工具的条件，辅助空间的大小等。

四、小结：

   (1) 若n较小(n <= 50)，则可以采用直接插入排序或直接选择排序。由于直接插入排序所需的记录移动操作较直接选择排序多，因而当记录本身信息量较大时，用直接选择排序较好。

   (2) 若文件的初始状态已按关键字基本有序，则选用直接插入或冒泡排序为宜。

   (3) 若n较大，则应采用时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序。快速排序是目前基于比较的内部排序法中被认为是最好的方法。

   (4) 在基于比较排序方法中，每次比较两个关键字的大小之后，仅仅出现两种可能的转移，因此可以用一棵二叉树来描述比较判定过程，由此可以证明：当文件的n个关键字随机分布时，任何借助于"比较"的排序算法，至少需要O(nlog2n)的时间。

   (5) 当记录本身信息量较大时，为避免耗费大量时间移动记录，可以用链表作为存储结构。

本文转自 ： http://blog.youkuaiyun.com/yanghongche/article/details/52153786