XYNUOJ 平面分割问题

问题 F: 平面分割问题

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题目描述

设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

输入

对每一笔测试数据，输入只有一行：整数n (0<n<1000)

输出

一行：一个整数

样例输入

1
3
10
30
500

样例输出

2
8
92
872
249502

提示

多组测试数据

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因为任意两条曲线都相交于两点，所以每加一条曲线就会多n(不明)个区域，至于多几个区域，观察发现，每一个递推公式a[n]-a[n-1]等于2*(n-1),所以试着写出程序竟然A了，又上网查了下具体的推理过程

如下：平面分割问题 - 优快云博客
http://blog.youkuaiyun.com/sinat_34943123/article/details/51440883

问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

解：设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图3-13可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。 
 
从这些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成an-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是an=an-1+2(n-1)，边界条件是a1=1。 
平面分割问题是竞赛中经常触及到的一类问题，由于其灵活多变，常常感到棘手，下面的例8是另一种平面分割问题，有兴趣的读者不妨自己先试着求一下其中的递推关系。

#include<stdio.h>
int main()
{
	int n;
	long long a[1100];
	a[1]=2;a[2]=4;
	for(int i=3;i<=1100;i++)
	a[i]=a[i-1]+2*(i-1);
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		printf("%d\n",a[n]);
	}
	return 0;
}