二项式定理

（1）二次项定理

根据此定理，可以将$x+y$ 的任意次幂展开成和的形式

$$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^0{b}^n+C_n^1{a}^1{b}^{n-1}...+C_n^k{a}^k{b}^{n-k}...+C_n^n{a}^n{b}^0$$

也可以表示为

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

（2）二次项定理的一个变型

二项式定理的一个变形是用 1 来代换$y$得到的，所以它只涉及一个变量。在这种形式中，公式写作

$$(1+x{)}^n=C_n^0{x}^0+C_n^1{x}^1...+C_n^k{x}^k...+C_n^n{x}^n$$

也可以表示为

$$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k$$

（3）二次项展开的奇数项或偶数项的和

设$(a+b{)}^k$的二次项展开的奇数项和为$S1$

即 $S1=C_n^1{a}^1{b}^{n-1}+C_n^3{a}^3{b}^{n-3}...+C_n^{2k+1}{a}^{2k+1}{b}^{n-\left(2k+1\right)}+\dots$ ，其中$k\in Z$ 且 $2\ast k+1\in [0,n]$

设$(a+b{)}^k$的二次项展开的偶数项和为$S0$

即 $S0=C_n^0{a}^0{b}^n+C_n^2{a}^2{b}^{n-2}...+C_n^{2k}{a}^{2k}{b}^{n-2k}+\dots$，其中$k\in Z$ 且$2\ast k\in [0,n]$

所以$S0+S1=(a+b{)}^k$ ①​

我们令$a^{\prime }=-a$

那么$(a^{\prime }+b{)}^k=(-a+b{)}^k=S0-S1$ ②

我们联立方程① ②就可以解出$S0,S1$的值

$$S0=\frac{{\left(a+b\right)}^k+{\left(b-a\right)}^k}{2},S1=\frac{{\left(a+b\right)}^k-{\left(b-a\right)}^k}{2}$$