剑指offer 10. 变态跳台阶

最新推荐文章于 2024-05-30 10:15:43 发布

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#变态跳台阶 #剑指offer #Python #C++

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本文详细解析了青蛙跳台阶问题，通过回溯法找到递归规律，并提供了两种C++实现方法，一种时间复杂度和空间复杂度均为O(n)，另一种通过优化将空间复杂度降低到O(1)。

原题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

Reference Answer

解题思路:

依旧是典型回溯法，只需要找出递归规律即可，完事用回溯法实现。

递归规律为： res[n] = res[n-1] + res[n-2] + ...+ res[0] + 1，+1表示直接跳到第n级台阶。

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        res = []
        res.extend([0, 1, 2])
        # res[n] = res[n-1] + res[n-2] + ...+ res[0] + 1
        if number > 2:
            for i in range(3, number + 1):
                res.append(sum(res[:i]) + 1)
        return res[number]

C++ Version:

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        int base0 = 0, base1 = 1, base2 = 2;
        if (number == 0){
            return base0;
        }
        else if (number == 1){
            return base1;
        }
        else if (number == 2){
            return base2;
        }
    
        vector<int> res;
        res.push_back(base0);
        res.push_back(base1);
        res.push_back(base2);
        
        for (int i = 3; i <= number; ++i){
            res.push_back(accumulate(res.begin(), res.end(),0)+1);
        
        }
        return res.back();
    }
};

以上实现，时间复杂度、空间复杂度均为O(n)；

优化版本：

将空间复杂度进一步优化到O(1)；
C++ Version：

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        int base = 1;
        int sum = base + 1;
        
        for(int i=2; i <= number; i++){
            base = sum;
            sum += base;
        }
        return base;
    }
};

这里已经不再简单是前面的DP思路了，而是找到了规律：

n = 1		base = 1;
n = 2		base = 1+ 1 = 2 = 1 + 1;
n = 3		base = 1+ 2 + 1 = 4 = 2 + 2;
n = 4		base = 1 + 2 + 4 + 1 = 8 = 4 + 4;

即 $base_n = base_{n-1} + base_{n-1}$ ，故而直接带入规律，即得到空间复杂度为O(1)的优化版本。

Note:

C++ 的vector求和方式：int sum=accumulate(va.begin(), va.end(), 0);；