进制之间的转换

一： 十进制数转换成二进制数。

随便拿出一个十进制数“39”，（假如你今天买书用了39元）先来把这个39转换成2进制数。

                  商     余数                                                                     步数
39/2=         19       1                                                                      第一步     
19/2=          9        1   （这里的19是第一步运算结果的商）         第二步
9/2=            4        1   （这里的9是第二步运算结果的商）           第三步
4/2=            2        0   （这里的4是第三步运算结果的商）           第四步
2/2=            1        0   （这里的2是第四步运算结果的商）           第五步
1/2=            0        1   （这里的1是第五步运算结果的商）           第六步

那么十进制数39转换成2进制数就是100111. 既39(10)=100111(2)


解析一：1. 当要求把一个10进制数转换成2进制数的时候，就用那个数一直除以2得到商和余数。
        2. 用上一步运算结果的商在来除以2，再来得到商和余数。
        3. 就这样，一直用上一步的商来除以2，得到商和余数！那么什么时候停止呢？
        4. 请看上述运算图，第六步的运算过程是用1除以2.得到的商是0，余数是1.    
        5. 在上述图中你会清晰的看到每一步运算结果的余数，你倒着把它们写下来就是“100111”了。那么这个就是结果了。
        6. 在上述图中符号“/”代表“除以”。

二： 十进制数转换成八进制数。

随便拿出一个十进制数“358”，（假如你今天买彩票中了358元）。358是我们现实生活中所用10进制表达出来的一个数值，转换成八进制数十多少？


                  商     余数                                                                     步数
358/8=       44       6                                                                        第一步     
44/8=          5        4   （这里的44是第一步运算结果的商）           第二步
5/8=            0        5   （这里的5是第二步运算结果的商）             第三步


那么十进制数358转换成8进制数就是546。既358（10）=546（8）

解析二：  

1.没什么好说的啦，10进制数转换成2进制数  和  10进制数转换成8进制数 的唯一不一样的地方就是除数变了，除数由“2” 变成了“8”。  其余的都一样。所以解析一，你一定要看明白并记好。
2.你或许会疑问5/8为什么商为“0” 余数为“5”。因为5不够被8除，那么商就是“0”余数就是“5”  同理1/2商为“0”余数为“1”。不多解释了啊！

三： 十进制数转换成十六进制数。

 随便拿出一个十进制数“120”，（假如你今天捡了120元）。120是我们现实生活中所用10进制表达出来的一个数值，转换成十六进制数十多少？
                  商     余数                                                                    步数
120/16=      7       8                                                                      第一步     
7/16=          0       7   （这里的7是第一步运算结果的商）           第二步
@4
那么十进制数120转换成16进制数就是78，既120（10）=78（16）。

解析三：  上同，看明白并记好解析一和解析二就可。


到这里，我想我已经把10进制数转化成2进制数，8进制数，16进制数已经给你讲的很明白了。



在这里你就可以看到，十进制数148转换成2进制8进制16进制所得到数的长度是不是在逐渐缩短。这就是所谓的“进制越大，数的表达长度越短” 。



那么接下来我来给你讲解2进制数，8进制数，16进制数怎样转换成10进制数。


四：2进制数转换成10进制数。

   就拿这个数吧“111101”。


          位置    第5位  第4位 第3位 第2位 第1位 第0位  
         
          数值      1       1       1      1      0      1


111101（2）= 1*2的0次方     + 0*2的1次方 + 1*2的2次方 + 1*2的3次方 + 1*2的4次方 + 1*2的5次方
          = 1*1       + 0*2        + 1*4        + 1*8        + 1*16        +1*32
          = 1         + 0          + 4          + 8          + 16         + 32
          = 61（10）
@5
既2进制数111101转换成10进制数为“61”


解析一：  1. “2的0次方”其实是一个数学表达式，但我打不出来那种数学的格式，就用纯汉语了。“2”就是基数，“0”就是次方数。 2的0次方，最后的结果是1！记好了啊，任何数的0次方结果都是“1”.说到这里就出来了一个很具争论的问题，那就是0的0次方是等于“1”还是“0”？当然你没必要              去研究了啊。你只要记住2的0次方=“1”， 8的0次方=“1”， 16的0次方=“1”等于“1”就可以了。

          2. “1*2的0次方”中的1是第0位上的数。  那么为什么要乘以2的0次方呢？ 因为它是2进制数，而且这个1处在第0位。
       
          3.“0*2的1次方”中的0是第1位上的数。  那么为什么要乘以2的1次方呢？ 因为它是2进制数，而且这个0处在第1位。

          4.“1*2的2次方”中的1是第2位上的数。  那么为什么要乘以2的2次方呢？ 因为它是2进制数，而且这个1处在第2位。
       
          5. 后面的2的3次方，2的4次方，2的5次方，就不用我多解释了吧。
 
          6. 将计算出来的数相加，就是这个2进制数转换成10进制数的结果。

          7. 还要注意一点，一个2进制数从右边开始的第一个数位是“第0位”而不是“第1位”，要记好了啊。看看我上面给你做的图示。


其实把8进制数，16进制数转换成10进制数，唯一变的地方就是基数变了。我给你分别个例子，你在对照上面的解析四，我相信这些你都会搞明白的。


8进制数转换成10进制数。

224（8）=？（10）

第0位  4*8的0次方     = 4
第1位  2*8的1次方     =16
第2为  2*8的2次方     =128


4+16+128=148
@6
那么224（8）=148（10）

352（8）=？（10）

8进制数352的第0位为“2”，第1位为“5”, 第2位为“3”

第0位  2*8的0次方    =2
第1位  5*8的1次方    =40
第2位  3*8的2次方    =192

2+40=192=234

那么352（8）=234（10）


16进制数转换成10进制数


2AF5（16）=？（10）

16进制数2AF5的第0位为“5”，第1位为“F”, 第2位为“A” 第3位为“2”
第0位    5*16的0次方  =5
第1位    F*16的1次方  =240
第2位    A*16的2次方  =2560
第3位    2*16的3次方  =8192

5+240+2560+8192=10997

那么2AF5（16）=10997（10）


或许你对A和F看不懂吧？没事，往下看。


@7
在2进制中只有2个数字，既1,0
在8进制中只有8个数字，既0,1,2,3,4,5,6,7
在10进制中有10个数字，既0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
在16进制中有10个数字和6个字母，既0,1,2,3,4,5,6,7,8,9和A,B,C,D,E,F,
   字母A代表数字10，字母B代表数字11，字母C代表数字12，字母D代表数字13，字母E代表数字14，字母F代表数字15，


那么F*16的1次方  =240和A*16的2次方  =2560 你明白了吧？
2AF5（16）=10997（10）你也该明白了吧。



其实你学习到这里，基本上都应该会10进制，2进制，8进制，16进制之间的相互转换了吧！

你要考虑一个问题，出了一道题，将一个2进制数转化成16进制数！你会做吗？
最笨的办法就是先把2进制数转换成10进制数，在转化成16进制数。
当然有简单的把法。你需要记住一些常用的就好了。那些事常用的，往下看！


二进制数(仅4位的2进制数)        =      十进制数      =    16进制数
0000            =          0         =        0   
0001            =          1         =        1   
0010            =          2         =        2   
0011            =          3         =        3   
0100            =          4         =        4   
0101            =          5         =        5   
0110            =          6         =        6   
0111            =          7         =        7   
1000            =          8         =        8   
1001            =          9         =        9   
1010            =          10        =        A   
1011            =          11        =        B   
1100            =          12        =        C   
1101            =           13       =        D   
1110            =           14       =        E   
1111            =           15       =        F    

@8

当你能熟练记住这些常用的，那么做2进制数与16进制数相互转换的时候就很轻松了。来给你举个例子看看啊。


111111011010010110011011（这是一个2进制数）
先把它所包含的数字分成4个4个在一块，如下所示：
1111  1101  1010  0101  1001  1011
根据上述常用表可以得到
1111=F
1101=D
1010=A
0101=5
1001=9
1011=B
那么它所对应的16进制数就是“FDA59B”


同理给你一个16进制数，怎么快速转换成2进制呢？

FD（16）=？（2）


呵呵，记住上面的常用数据表，那不是很快就出来了。

FD（16）=1111 1101（2）


一： 2进制转换10进制

101.101（2）=？（10）
（解析一）
1. 先把2进制数101.101分成整数和小数部分，即101和0.101
   101（2）=5（10）
2. 开始把0.101转换成10进制的。
    小数点后面的“1”，处于负一位，后面的“0”处于负二位，在后面的“3”处于负三位，
   因为是2进制的转换成10进制的，那么0.101=1*2的-1次方+0*2的-2次方+1*2的-3次方=0.5+0+0.125=0.625
3. 将整数部分的和小数部分的相加，5+0.625=5.625   即101.101（2）=5.625（10）

4. 数学知识，一个数的负几次方=这个数分之一的负几次方的绝对值次方，即（举例）5的-2次方=（1/5）的2次方
                  一个数的负几分之一次方=根号下的这个数，即（举例）5的-（1/2）次方=根号5.

那么8进制，16进制转换10进制，将“1*2的-1次方+0*2的-2次方+1*2的-3次方”里面的乘号后面的“2”分别换成“8”和“16”就好了。其余的都雷同上述。

二： 10进制转换2进制
57.75（10） = ？（2）

解析二：
1.  把10进制数分成2部分，即整数部分57和小数部分0.75.  整数部分转换成2进制前面给你讲过了，主要讲小数部分的。
    A： 0.75*2=1.5  取整数部分“1”  B：（1.5-1）*2=1.0 继续取整数部分“1”  c: （1.0-1）*2=0  在取整数部分“0”  到此就停止计算了。
    然后讲取出来的整数部分 按正序排列，即110   即0.75（10）=0.110（2）
2.  讲整数和小数相加，即111001+0.110=111001.110   即57.75（10）=111001.110（2）
3.  就这么简单，切记啊。对于小数部分的一定要正取，整数部分的要逆取。

10→2: (57.75)10 = (111001.110)2
   整数部分     57/2   1                        小数部分        0.75*2     1
                   28/2   0                                 (1.5-1)*2  取 1
                   14/2   0                                 (1.0-1)*2  取0
                   7/2    1     
                   3/2    1     
                   1/2    1     

10→8: (80.140625)10 = (120.11)8
             80/8   0                   0.140625*8    取  1
             10/8   2                   (1.125-1)*8   取  1
             1/8    1                    (1.0-1)*8    取  0


10→16: (1032493.13671875)10 = (FC12D.23)16
            1032493/16    13                         0.13671875*16  取 2
            64530/16      2                          (2.1875-2)*16  取  3
            4033/16       1                          (3.0-3)*16     取  0
            252/16        12    
            15/16         15

什么叫进制？
   现在所存在的进制有10进制，2进制，8进制，16进制。
   我们日常生活中的数学计算采用的是10进制。比如你现在有9元钱，过两天又有了2元钱。总共多少钱？采用我们日常生活所用的10进制，逢十进一，算出的结果就是11元钱。
    计算机它只能认识电路的通导和阻塞，也就是0和1.所以计算机不能采用10进制来计算数据，只能采用2进制来计算数据。逢2进1.
   那么为什么后来有出现了8进制，16进制呢？为什么没有3进制，5进制呢？
   8，16分别是2的3次方，2的4次方。这样来储存数据有利于2进制，8进制，16进制之间的相互转换。所以没有3进制，5进制。
   而且进制越大，这个数所占的字节就越小，计算机要储存数据，所占的字节越少，那么有限的空间它就能储存更多的数据。给你举个例子，你就明白了。
    随便拿出来一个10进制数，148.
    148（10）=10010100（2）
    148（10）=224（8）
    148（10）=94（16）
  看到效果了吧，把它转换成2进制，数位很多。转换成16进制，数位仅仅只有2位！而且有的变成语言要用到8进制，16进制的。就比如C++，C语言。