程序设计思维与实践 Week12 Blog

一、大纲

本周作业与实验题目如下：

• 必做题3

二、逐个击破

1.必做题3

题目描述

  东东每个学期都会去寝室接受扫楼的任务，并清点每个寝室的人数。
  每个寝室里面有ai个人(1<=i<=n)。从第i到第j个宿舍一共有sum(i,j)=a[i]+…+a[j]个人.这让宿管阿姨非常开心，并且让东东扫楼m次，每一次数第i到第j个宿舍sum(i,j)
  问题是要找到sum(i1, j1) + … + sum(im,jm)的最大值。且ix <= iy <=jx和ix <= jy <=jx的情况是不被允许的。也就是说m段都不能相交。
  注：1 ≤ i ≤ n ≤ 1e6 , -32768 ≤ ai ≤ 32767 人数可以为负数。。。。(1<=n<=1000000)

1. Input

  输入m，输入n。后面跟着输入n个ai 处理到 EOF

2. Output

  输出最大和

题目分析

• 题目需要完成的任务：从n个数字当中挑出m个不相交的段，使其和最大。
• 定义状态 $dp[i][j]$ 表示取到第j个数时挑出i个段的和的最大值。那么转移时需要考虑：当前数字属于之前的段，那么段数没有改变；或者之前仅挑出i-1个段，当前数属于新的段。取这两者间的较大者即可。
• 需要注意空间问题。因为我们计算 $dp[i][j]$ 时用到的信息只有 $dp[i][j-1]$ 和 $dp[i-1][k]$ 的最大者，后者是可以单独更新的，可以将维度降低，因此从二维降至一维，进而节省空间。

   所以这道题目具体的代码如下：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int inf=1e9;
const int N=1e6+10;
int a[N];
int  dp[N];
int fmax[N];
int main() {
	int m,n;
	while(~scanf("%d%d",&m,&n))
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a[i]);
		int ans;
		dp[0]=0;
		memset(fmax,0,sizeof(fmax));
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			ans=-inf;
			for(int j=i;j<=n;j++)
			{
				dp[j]=max(dp[j-1]+a[j],fmax[j-1]+a[j]);
				fmax[j-1]=ans;
				ans=max(ans,dp[j]);
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}