【householder given ratation 之间的差异】-优快云博客

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householder given ratation 之间的差异

在数值线性代数和矩阵计算中，Householder变换（反射）和Givens旋转是两种常用的正交变换方法，用于矩阵的QR分解、特征值计算等任务。它们的核心差异体现在几何意义、计算方式及应用场景上：

1. 几何意义

• Householder变换
• 基于反射（镜面翻转）：将向量 (\mathbf{x}) 关于某个超平面（由Householder向量 (\mathbf{v}) 定义）反射，得到 (-\sigma \mathbf{e}_1)（其中 (\sigma) 是缩放因子，(\mathbf{e}_1) 是标准基向量）。
• 一次性将一个向量的所有非零分量清零（除第一个分量外）。

• Givens旋转
• 基于平面旋转：在二维子空间中旋转向量，通过选择角度 (\theta) 将某个特定分量清零（例如，将 (x_i) 旋转到 (x_j) 方向）。
• 每次只能清零一个特定分量，需多次旋转处理整个向量。

2. 计算方式

• Householder变换
• 变换矩阵形式：(H = I - 2\mathbf{v}\mathbf{v}^T/\mathbf{v}T\mathbf{v})，其中 (\mathbf{v}) 是构造的反射向量。
• 对矩阵 (A) 的列向量一次性引入多个零（适用于稠密矩阵的批量处理）。

• Givens旋转
• 变换矩阵形式：在 ((i,j)) 平面上的旋转矩阵 (G(i,j,\theta))，仅修改 (i) 和 (j) 行/列的元素。
• 每次操作仅修改矩阵的两个行/列（适用于稀疏矩阵或特定结构的矩阵）。

3. 应用场景

• Householder变换
• 稠密矩阵的QR分解：高效减少矩阵为上海森伯格形式（Hessenberg form）或上三角矩阵。
• 更适合批量清零（如一次处理一列的所有下方元素）。

• Givens旋转
• 稀疏矩阵或带状矩阵：可选择性清零，避免破坏已有的零结构。
• 并行计算：因每次操作仅涉及两行/列，适合并行化。
• 常用于修正QR分解（如秩-1更新）或对称三对角化。

4. 计算复杂度

• Householder：对 (m \times n) 矩阵QR分解的复杂度为 (O(2n^2(m-n/3)))，适合大规模稠密矩阵。
• Givens：每次旋转需 (O(m)) 操作，清零一列需 (O(m^2)) 操作，适合局部修改或稀疏性利用。

5. 稳定性

• 两者均为数值稳定的正交变换，但Householder通常更稳定（因反射操作对舍入误差不敏感）。

总结表

特性	Householder变换	Givens旋转
几何操作	反射（超平面）	旋转（二维平面）
清零能力	一次一列的所有下方元素	一次一个特定元素
适用矩阵	稠密矩阵	稀疏/带状矩阵
并行性	较差（批量操作）	较好（可独立处理元素）
复杂度	更低（批量处理）	较高（需多次旋转）