雅克比矩阵（Jacobian Matrix）的意义

单变量情况，如果$f:R\rightarrow R$,则有：

$$\bf f^\prime(x) = \lim_{\nabla x \rightarrow 0} \frac{f(x + \nabla x) - f(x)}{\nabla x}$$
以一种非常有用的方式考虑$f^\prime(x)$就是：
$$\bf f(x + \nabla x) \approx f(x) + f^\prime(x)\nabla x$$

上述方程在n维欧式空间到m维欧式空间的映射$F:R^n\rightarrow R^m$同样非常有意义：

$$\bf F(x + \nabla x) \approx F(x) + F^\prime(x)\nabla x$$

• 其中$F^\prime(x)$就是函数在一点$x$的导数也就是Jacobian矩阵$J_F(x)$
• $x \in R^n$, $F(x) \in R^m$,$J_F(x)$为 $m \times n$：可见上式完成了不同维度空间的线性映射
• 其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近
• 雅可比矩阵类似于单变数函数的导数
• Jacobian矩阵$J_F(x)$允许我们通过线性函数（affine function）估计一个函数 locally