P4173 残缺的字符串（单模式字符串匹配FFT）

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本文介绍了一种处理含通配符的单模式串匹配问题的算法，该算法通过定义单个字符匹配函数并利用快速傅里叶变换（FFT）进行优化，解决了传统KMP算法无法处理通配符的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

P4173

题目描述

题解

单模式串匹配问题，含通配符。
由于含通配符，所以不能用KMP解决。
设模式串 $A$ （长度为 $m$ ）、文本串 $B$ （长度为 $n$ ）
考虑定义单个字符匹配函数 $C (x, y)$ 来解决，令通配符的值为 $0$
$C(x,y)=[A(x)-B(y)]^2A(x)B(y)$
那么整个字符串完全匹配函数 $P (x)$ (表示在 $B$ 串的 $x$ 位置完成匹配)
$P(x)=\sum\limits_{i=1}^m[A(i)-B(x-m+i)]A(i)B(x-m+i)$
考虑翻转，令 $S (m - i) = A (i)$ ，那么
$P(x)=\sum\limits_{i=1}^m[S(m-i)-B(x-m+i)]^2S(m-i)B(x-m+i)\\ =\sum\limits_{i=1}^mS(m-i)^3B(x-m+i)-2\sum\limits_{i=1}^mS(m-i)^2B(x-m+i)^2+\sum\limits_{i=1}^m S(m-i)B(x-m+i)\\ =\sum\limits_{i+j=x}S(i)^3B(j)-2\sum\limits_{i+j=x}S(i)^2B(j)^2+\sum\limits_{i+j=x}S(i)B(j)^3$
于是套FFT即可

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){
	int f=1,re=0;char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
const int M=2100009;
const double pi=acos(-1.0);
struct complex{
	double x,y;
	complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
	friend inline complex operator+(complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
	friend inline complex operator-(complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	friend inline complex operator*(complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
	friend inline complex operator/(complex a,double b){return complex(a.x/b,a.y/b);}
	friend inline complex operator*(complex a,double b){return complex(a.x*b,a.y*b);}
}c[M],d[M],ans[M];
int n,m,r[M],l,lim=1,top,s[M],a[M],b[M];
char s1[M],s2[M];
void FFT(complex *A,int type){
	for(int i=0;i<lim;i++) if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		complex W(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));
		for(int R=mid<<1,j=0;j<lim;j+=R){
			complex w(1,0);
			for(int k=0;k<mid;k++,w=w*W){
				complex x=A[j+k],y=w*A[j+k+mid];
				A[j+k]=x+y;
				A[j+mid+k]=x-y;
			}
		}
	}if(type==-1) for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]/(double)lim;
}
signed main(){
	m=read(),n=read();
	scanf("%s%s",s1,s2);
	reverse(s1,s1+m);
	for(int i=0;i<m;i++)
		if(s1[i]!='*') a[i]=s1[i]-'a'+1;
	
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(s2[i]!='*') b[i]=s2[i]-'a'+1;
	
	
	while(lim<n+n) lim<<=1,l++;
	for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	
	for(int i=0;i<m;i++) c[i]=complex(a[i]*a[i]*a[i],0);
	for(int i=0;i<n;i++) d[i]=complex(b[i],0);
	FFT(c,1),FFT(d,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) ans[i]=ans[i]+c[i]*d[i];
	
	for(int i=0;i<lim;i++) c[i]=d[i]=complex(0,0);
	for(int i=0;i<m;i++) c[i]=complex(a[i]*a[i],0);
	for(int i=0;i<n;i++) d[i]=complex(b[i]*b[i],0);
	FFT(c,1),FFT(d,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) ans[i]=ans[i]-c[i]*d[i]*2.0;
	
	for(int i=0;i<lim;i++) c[i]=d[i]=complex(0,0);
	for(int i=0;i<m;i++) c[i]=complex(a[i],0);
	for(int i=0;i<n;i++) d[i]=complex(b[i]*b[i]*b[i],0);
	FFT(c,1),FFT(d,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) ans[i]=ans[i]+c[i]*d[i];
	
	FFT(ans,-1);
	for(int i=m-1;i<n;i++) if(fabs(ans[i].x)<=0.5) s[++top]=i-m+2;
	printf("%d\n",top);
	for(int i=1;i<=top;i++) printf("%d ",s[i]);
	return 0;
}