P4721-分治FFT，生成函数

最新推荐文章于 2021-07-17 09:23:32 发布

Daniel__d

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分类专栏：多项式生成函数

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本文探讨了两种高效算法，一是分治FFT算法，利用类似CDQ分治的策略优化传统的FFT，达到O(nlog^2n)的时间复杂度；二是通过生成函数结合多项式求逆解决复杂问题，实现O(nlogn)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

P4721

题目描述

题解

两种解法
1，分治FFT $O(nlog^2n)$
考虑直接FFT，由于每次都要FFT一次，所以时间复杂度退化到 $O(n^2logn)$ 。
考虑优化，类似于CDQ分治。
对于一个区间 $[l, r]$ 之间的答案，我们先处理出 $[l, m i d]$ 的答案，然后算出左区间对右区间的贡献，再递归处理 $[m i d + 1, r]$ 。
那么左区间对右区间的贡献即是：
$f[i]=\sum\limits_{j=l}^{mid}f[j]*g[i-j],i\in[mid+1,r]$
所以有 $l o g n$ 层，每层n个元素，FFT复杂度为 $O (n l o g n)$ ，总复杂度即为 $O(nlog^2n)$
2,生成函数
设 $f_n,g_n$ 的生成函数为 $F (x), G (x) (g [0] = 0)$
则有
$F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}f_ix^i,G(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}g_ix^i\\ F(x)*G(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{\infty}f_ig_jx^{i+j}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{i}f_ig_{i-j}x^i=F(x)+f[0]\\$
由题干所给式子， $F (x) * G (x)$ 可以化成最后那部分，由于 $g [0] = 0$ ,所以常数项变成了 $0$ ，故还要加上 $f [0]$
$F(x)=\frac{f[0]}{1-G(x)}=\frac{1}{1-G(x)}\\$
多项式求逆即可解决， $O (n l o g n)$

代码

分治FFT $O(nlog^2n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define M 400009//要开4倍！ 
using namespace std;
int read(){
	int f=1,re=0;char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
const int g=3;
const int mod=998244353; 
int rev[M];
int ksm(int a,int b){//快速幂 
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ll)ans*a%mod;
		a=(ll)a*a%mod;
		b>>=1;
	}return ans%mod;
}
void ntt(int *A,int lim,int type){//ntt
	for(int i=0;i<lim;i++) if(i<rev[i]) swap(A[i],A[rev[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		int W=ksm(g,(mod-1)/(mid<<1));
		for(int R=mid<<1,j=0;j<lim;j+=R){
			int w=1;
			for(ll k=0;k<mid;k++,w=(ll)w*W%mod){
				int x=A[j+k],y=(ll)w*A[j+k+mid]%mod;
				A[j+k]=(x+y)%mod;
				A[j+mid+k]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(type==-1){
		reverse(A+1,A+lim);
        int inv=ksm(lim,mod-2);
        for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=(ll)A[i]*inv%mod;
	}
}
int a[M],b[M],f[M],gg[M],n;
void cdq(int l,int r){
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq(l,mid);
	int len=(r-l+1);
	int lim=1,lll=0;
	while(lim<len*2) lim<<=1,lll++;
	for(int i=0;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lll-1)),a[i]=b[i]=0;
	for(int i=l;i<=mid;i++) a[i-l]=f[i];
	for(int i=1;i<=r-l;i++) b[i-1]=gg[i];
	ntt(a,lim,1),ntt(b,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
	ntt(a,lim,-1);
	for(int i=mid+1;i<=r;i++) f[i]=(ll)(f[i]+a[i-l-1])%mod;
	cdq(mid+1,r);
}
signed main(){
	n=read();f[0]=1;
	for(int i=1;i<n;i++) gg[i]=read();
	cdq(0,n-1);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",f[i]);
	printf("\n"); 
	return 0;
}

生成函数 $O (n l o g n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
const int g=3;
const int mod=998244353; 
const int M=2100009;
char s;
int read(){
	int f=1,re=0;char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f;
}
int ksm(int a,int b){//快速幂 
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ll)ans*a%mod;
		a=(ll)a*a%mod;
		b>>=1;
	}return ans%mod;
}
int c[M],d[M],n,m,r[M],tmp[M],a[M],b[M],inv2=ksm(2,mod-2),dera[M],inva[M],lnb[M],lna[M],k,aa[M],bb[M],aaa[M],bbb[M],invb[M],F[M],cpy[M];
void ntt(int *A,int lim,int type){//ntt
	for(int i=0;i<lim;i++) if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		int W=ksm(g,(mod-1)/(mid<<1));
		for(int R=mid<<1,j=0;j<lim;j+=R){
			int w=1;
			for(ll k=0;k<mid;k++,w=(ll)w*W%mod){
				int x=A[j+k],y=(ll)w*A[j+k+mid]%mod;
				A[j+k]=(x+y)%mod;
				A[j+mid+k]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(type==-1){
		reverse(A+1,A+lim);
        int inv=ksm(lim,mod-2);
        for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=(ll)A[i]*inv%mod;
	}
}
void getmul(int a[],int b[],int c[],int n,int m){//多项式乘法 
	int lim=1,l=0;
    while(lim<=n+m) lim<<=1,l++;
    for(int i=1;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1|(i&1)<<(l-1));
    for(int i=0;i<=n;i++) aa[i]=a[i];
    for(int i=0;i<=m;i++) bb[i]=b[i];
    ntt(aa,lim,1),ntt(bb,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++){
        c[i]=(ll)aa[i]*bb[i]%mod;
        aa[i]=bb[i]=0;
    }ntt(c,lim,-1);
}
void getinv(int a[],int b[],int len){//多项式求逆 
	if(len==1){
		b[0]=ksm(a[0],mod-2);
		return;
	}getinv(a,b,(len+1)>>1);
	int lim=1,l=0;
	while(lim<len+len) lim<<=1,l++;
	for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<len;i++) tmp[i]=a[i];
    for(int i=len;i<lim;i++) tmp[i]=0;
	ntt(tmp,lim,1),ntt(b,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=(ll)b[i]*((2-(ll)tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod)%mod;
	ntt(b,lim,-1);
	for(int i=len;i<lim;i++) b[i]=0;
}
void getdiv(int a[],int b[],int c[],int d[],int n,int m){//多项式除法 
	for(int i=0;i<=n;i++) aaa[i]=a[i];
	for(int i=0;i<=m;i++) bbb[i]=b[i];
	reverse(aaa,aaa+n+1),reverse(bbb,bbb+m+1);
	getinv(bbb,invb,n-m+1);
	getmul(aaa,invb,c,n-m,n-m);
	reverse(c,c+n-m+1);
    reverse(aaa,aaa+n+1);reverse(bbb,bbb+m+1);
    getmul(c,bbb,d,n-m,m);
    for(int i=0;i<m;i++) d[i]=(aaa[i]-d[i]+mod)%mod;
    for(int i=0;i<=n;i++) aaa[i]=0;
	for(int i=0;i<=m;i++) bbb[i]=0;
}
void getsqrt(int a[],int b[],int len){//多项式开根 
	if(len==1) return (void)(b[0]=1);
	getsqrt(a,b,(len+1)>>1);
	for(int i=0;i<=(len<<1);i++) F[i]=0;
	getinv(b,F,len);
	int lim=1,l=0;
	while(lim<len+len) lim<<=1,l++;
	for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<len;i++) cpy[i]=a[i];
    for(int i=len;i<lim;i++) cpy[i]=0;
	ntt(cpy,lim,1),ntt(b,lim,1),ntt(F,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=((ll)((ll)(b[i]+(ll)cpy[i]*F[i]%mod)%mod)*inv2)%mod;
	ntt(b,lim,-1);
	for(int i=len;i<lim;i++) b[i]=0;
}
void getintegral(int a[],int b[],int len){//积分 
	for(int i=1;i<len;i++) b[i]=(ll)a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	b[0]=0;
}
void getderivation(int a[],int b[],int len){//求导 
	for(int i=1;i<len;i++) b[i-1]=(ll)a[i]*i%mod;
	b[len-1]=0; 
}
void getln(int a[],int b[],int len){//多项式ln 
	getinv(a,inva,len);
	getderivation(a,dera,len);
	int lim=1,l=0;
	while(lim<len+len) lim<<=1,l++;
	for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	ntt(inva,lim,1),ntt(dera,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) inva[i]=(ll)inva[i]*dera[i]%mod;
	ntt(inva,lim,-1);
	getintegral(inva,b,len);
	for(int i=0;i<lim;i++) inva[i]=dera[i]=0;
}
void getexp(int a[],int b[],int len){//多项式exp 
	if(len==1) return (void)(b[0]=1);
	getexp(a,b,len>>1),getln(b,lnb,len);
	for(int i=0;i<len;i++) lnb[i]=(ll)(a[i]-lnb[i]+(i==0)+mod)%mod; 
	int lim=(len<<1);
	ntt(lnb,lim,1),ntt(b,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=(ll)lnb[i]*b[i]%mod;
	ntt(b,lim,-1);
	for(int i=len;i<lim;i++) lnb[i]=b[i]=0;
}
void getksm(int a[],int b[],int len,int k){//多项式快速幂 
	getln(a,lna,len);
	for(int i=0;i<len;i++) lna[i]=(ll)k*lna[i]%mod;
	getexp(lna,b,len);
}
signed main(){
	n=read();a[0]=1;
	for(int i=1;i<n;i++) a[i]=-read();
	int lim=1;while(lim<=n) lim<<=1;
	getinv(a,b,lim);
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",b[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}