无旋Treap--FHQ Treap

最新推荐文章于 2022-08-29 21:14:26 发布

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#无旋Treap

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本文深入解析无旋Treap数据结构，一种高效的二叉搜索堆，详细介绍了其核心操作如split和merge的实现原理及代码示例，适用于快速查询和更新场景。

无旋Treap

解析

$F H Q T r e a p$ 和普通的 $T r e a p$ 都是一个二叉搜索堆，其同时满足二叉树的性质（左子树的权值小于等于当前节点权值，右子树权值大于当前节点权值）和堆的性质（对于小根堆，当前节点的优先级是堆中最小的)。
优点：
1，代码实现简单
2，可以实现可持久化

核心操作（以下均为小根堆）

初始化

我常用数组写法

int val[M],pos[M],siz[M],son[M][2];
//son[M][2] 记录左右儿子
//siz[M] 记录节点个数
//pos[M] 给每个节点随机的值，保证均摊下来复杂度为O(nlogn)，它的值满足堆的性质
//val[M] 每个节点本身的价值，它的值满足二叉树的性质

split

$s p l i t$ 要实现的是将一颗 $T r e a p$ 分为两颗 $T r e a p$ ，其中左 $T r e a p$ （以 $a $ 为根节点）中节点权值均小于等于（根据情况，也可以是小于）目标值 $v$ ，右 $T r e a p$ （以 $b $ 为根节点）中节点权值均大于目标值 $v$ 。

给定根 $r t$ ，如果 $v a l [r t] \leq v$ ，那么说明 $r t$ 及其左子树均可以划分给左树 $a$ 的左子树，接下来只需要考虑左树 $a$ 的右子树是什么。这时问题可以变为：对于给定的根 $s o n [r t] [1]$ ，因为 $r t$ 的左子树已经划分给了 $a$ ），按照目标权值 $v$ 将其划分为以 $s o n [a] [1]$ 和右树 $b$ 的两颗 $T r e a p$ 。问题可以递归求解。

考虑另一种情况，如果 $v a l [r t] > v$ ，那么说明 $r t$ 及其右子树均可以划分给右树 $b$ 的右子树，按照刚才的套路，只需要考虑右树b的左子树是什么。问题进而变为：对于给定的根 $s o n [r t] [0]$ （因为 $r t$ 的右子树已经划分给了 $b$ ），按照目标权值 $v$ 将其划分为以 $s o n [b] [0]$ 和左树 $a$ 的两颗 $T r e a p$ 。问题可以递归求解。

void split(int rt,int &a,int &b,int v){//将根节点为rt的树，按v值分成分别以a，b为根的树
	if(!rt){a=b=0;return;} //分到底了
	if(val[rt]<=v) a=rt,split(son[rt][1],son[rt][1],b,v);
	else b=rt,split(son[rt][0],a,son[rt][0],v);
	pushup(rt);//更新节点个数
}

merge

$m e r g e$ 要实现的是，将两颗 $T r e a p$ 合并为一颗 $T r e a p$ 。合并有一个前提，要保证左树 $a$ 上任意节点的 $v a l$ 值都要小于右树 $b$ 上任意节点 $v a l$ 值。这样才能保证合并有序。这里维护的是小根堆。

如果当前 $p o s [a] < p o s [b]$ ，为了同时满足小根堆和二叉搜索树的性质，那么应该将 $b$ 合并到 $a$ 的右子树上。

反之，应该将 $a$ 合并到 $b$ 的左子树上。递归求解即可，

int merge(int a,int b){//将根分别为a,b的两棵树合并，返回合并后树的根
	int rt;
	if(!a||!b) return a+b;//走到底了
	if(pos[a]<pos[b]) rt=a,son[a][1]=merge(son[a][1],b);
	else rt=b,son[b][0]=merge(a,son[b][0]);
	pushup(rt);return rt;	
}

模板题 P3369

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define M 10000009
using namespace std;
const int mod=998244353;
int read(){
	int f=1,re=0;
	char ch;
	for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
	if(ch=='-'){f=-1,ch=getchar();}
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0';
	return re*f; 
}
int val[M],pos[M],siz[M],cnt,root,n,son[M][2];
void pushup(int k){siz[k]=siz[son[k][0]]+siz[son[k][1]]+1;}
int build(int x){
	val[++cnt]=x,siz[cnt]=1,pos[cnt]=rand()*rand()%mod;
	return cnt;
}
void split(int rt,int &a,int &b,int v){
	if(!rt){a=b=0;return;} 
	if(val[rt]<=v) a=rt,split(son[rt][1],son[rt][1],b,v);
	else b=rt,split(son[rt][0],a,son[rt][0],v);
	pushup(rt);
}
int merge(int a,int b){
	int rt;
	if(!a||!b) return a+b;
	if(pos[a]<pos[b]) rt=a,son[a][1]=merge(son[a][1],b);
	else rt=b,son[b][0]=merge(a,son[b][0]);
	pushup(rt);return rt;	
}
int kth(int rt,int v){
	if(siz[son[rt][0]]>=v) return kth(son[rt][0],v);
	if(siz[son[rt][0]]+1==v) return rt;
	return kth(son[rt][1],v-siz[son[rt][0]]-1);
}
int main(){
	srand(time(0));
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int opt=read(),x=read(),y=0,z=0,w=0;
		if(opt==1) split(root,y,z,x),root=merge(merge(y,build(x)),z);
		if(opt==2) split(root,y,z,x),split(y,y,w,x-1),w=merge(son[w][0],son[w][1]),root=merge(merge(y,w),z);
		if(opt==3) split(root,y,z,x-1),printf("%d\n",siz[y]+1),root=merge(y,z);
		if(opt==4) printf("%d\n",val[kth(root,x)]);
		if(opt==5) split(root,y,z,x-1),printf("%d\n",val[kth(y,siz[y])]),root=merge(y,z);
		if(opt==6) split(root,y,z,x),printf("%d\n",val[kth(z,1)]),root=merge(y,z);
	}return 0;
}