C++算法——质数筛法

最新推荐文章于 2025-11-05 16:15:39 发布

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一、引入

说到质数，你想到了什么？我们很容易判断一个数是不是质数，我们只要从2到 $\sqrt{n}$ 遍历，如果有n的因数就返回false，否则返回true。本文不是介绍质数判断，而是介绍在一个区间内得到所有质数的方法——质数筛法¹，这里着重介绍质数筛法当中的埃氏筛法和欧拉筛法。

二、最朴素也最慢的方法——逐个判断

简介

得到一个区间内所有的质数，最简单、朴素的方法应该就是遍历每个数，判断是否是质数了。这种方法的代码简单，但时间复杂度较高，适合于小数据量。就是文章开头注释中提到的方法。

程序

出于完整性的考虑，还是将这种方法的程序列出在下方了。给出的代码只是找到n以下的质数。注意，由于数组大小所限，这段代码的n必须 $\leq1000$ 。

bool isPrime(int n){
		if(n<=1){
				return false;
		}
    for(int i=2;i*i<=n;++i){
        if(n%i==0){
            return false;
        }
    }
    return true;
}
bool Prime[1000]={};
void SM(int n){
    for(int i=2;i<=n;++i){
        Prime[i]=isPrime(i);
    }
}

三、埃氏筛法

简介

埃氏筛法是从2开始，“划掉”所有非被标记的数的倍数，直到遍历结束。这样就得到了一个数组 $a$ ， $a_i$ 就是 $i$ 是否是质数的标记。

过程

从二开始，到n结束。如果 $a_i$ 不是质数，就跳过，否则用循环将 $i$ 的倍数标记为非质数。这里其实有两种写法。片段如下：
写法一：

for(int j=2;i*j<=n;++j){
	Prime[i*j]=1;
}

写法二：

for(int j=i*2;j<=n;j+=i){
	Prime[j]=1;
}

程序²

void SieveE(int n){
		for(int i=0;i<=n;++i) Prime[i]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(Prime[i]){
            continue;
        }
        //这里使用了写法二，如果想使用写法一可自行替换
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i){
            Prime[j]=1;
        }
    }
}

三、欧拉筛法

简介

虽然埃氏筛法很快，但它有一个问题，就是一个数可能被标记为非质数很多次，很浪费时间。欧拉筛法就解决了这个问题。它的时间复杂度是 $O (n)$ ，而埃氏筛法的时间复杂度是 $O(n\,log\,log\,n)$ 。可见欧拉筛法的时间复杂度更优。

过程

$i$ 从2开始到n结束，每次遍历：
如果 $a_i$ 标记为是质数，那么将 $i$ 加入质数列表。
在所有情况下，都进行下面的运算：
如果 $i \times P [j] \leq n$ （未超过范围），则标记 $a [i \times P [j]]$ 为非质数；否则退出循环。

程序

void Sieve_Euler(int n){
		for(int i=0;i<=n;++i) Prime[i]=0;
    vector<int> P;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(Prime[i]==0){
            P.push_back(i);
        }
        for(int j=0;j<P.size();++j){
            if(i*P[j]>n){
                break;
            }
            Prime[i*P[j]]=1;
            if(i%P[j]==0){
                break; // 确保每个合数只被最小质因子标记一次
            }
        }
    }
}