AVL树

一.AVL树的概念
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树

• 左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差（平衡因子）的绝对值不超过1
  例如：
  
  上面这棵树不是一个AVL树，因为节点16的平衡因子为2，超过了1，此时为了让它变成AVL树，则要进行旋转

2.AVL树节点的定义

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
   AVLTreeNode<K,V>* _left;      //左孩子节点
   AVLTreeNode<K,V>* _right;      //右孩子节点  
   AVLTreeNode<K,V>* _parent;    //双亲节点
   int _bf;                     //平衡因子
   std::pair<K,V> _kv;
   
   AVLTreeNode(const std::pair<K,V>& kv)
               :_left=nullptr    
               ,_right=nullptr
               ,_parent=nullptr
               ,_bf(0)
               ,_kv(kv)
    {}
 }          

3.AVL树的插入

• 首先按照二叉搜索树的方法找到新节点的插入位置（如果元素不存在则插入，存在则返回false)
• 新节点插入后，AVL树的平衡可能会被破坏，所以此时要进行更新平衡因子（如果新节点插在双亲结点的左侧，则双亲结点的平衡因子–，否则平衡因子++）
• 如果双亲节点的平衡因子变为1或-1，则证明原来的平衡因子为0，此时子树有一侧高度增加，因此要继续向上进行更新平衡因子知道平衡因子为0
• 如果双亲节点的平衡因子变为2或-2，则证明该树已经不满足AVL树性质，因此要进行旋转（具体方法在下一篇）

4.AVL树的插入实现

bool Insert(const std::pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)            //如果树为空，则直接插入新节点
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)               //如果新节点k值小于cur,则向左子树继续查找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first<kv.first)            //如果新节点k值大于cur,则向右子树继续查找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else              //新节点已经存在，不再插入
			{
				return false;
			}
		}
		//找到插入位置进行插入
		cur = new Node(kv);          
		if (parent->_kv.first>kv.first)    
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)      //如果插入在左子树，则双亲的平衡因子-1
			{
				parent->_bf--;
			}
			else                      //如果插入在右子树，则双亲的平衡因子+1
			{
				parent->_bf++;
			}
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;          //双亲的平衡因子为0，不再更新
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 1)
			{
				//2.高度变了，继续更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 2)
			{
				//不平衡旋转
				if (parent->_bf == 2)
				{
					if (cur->_bf == -1)
						RotateRL(parent);     //右左双旋
					else if (cur->_bf == 1)
						RotateL(parent);            //左单旋
				}
				else if (parent->_bf==-2)
				{
					if (cur->_bf == 1)
						RotateLR(parent);          //左右双旋
					else if (cur->_bf == -1)
						RotateR(parent);            //右单旋
				}  
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

5.AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，要求每个节点的左右子树高度差不超过1，可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2(N);但是如果对结构进行修改操作，性能就会很低下。由于插入后也要维护平衡，则要通过大量旋转来维护。