傅里叶分析中几个容易混淆的概念(转帖)

转自 http://blog.ednchina.com/yrwusignal/288071/message.aspx

http://blog.youkuaiyun.com/dznlong/archive/2008/04/08/2261150.aspx

 

傅里叶分析可以说是信号处理最重要的基石之一。但傅里叶级数、傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换等几个有点像又有点不像的概念，不仅经常搞得初学者晕头转向，有时候让老手也有点糊涂。

根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：

1	非周期性连续信号	傅立叶变换（Fourier Transform）
2	周期性连续信号	傅立叶级数(Fourier Series)
3	非周期性离散信号	离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）
4	周期性离散信号	离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

 

下图是四种原信号图例： 

1、  傅里叶级数 -- 周期连续信号的傅里叶分析

在高等数学中就已经知道，在满足一定的条件下，任何一个周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。在高等数学中，这种分解就叫傅里叶级数。在信号处理学习的最初阶段，也是从这个概念出发，开始输入到信号处理的傅里叶世界。在信号处理中，周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶级数。此时，在傅里叶分析之前，信号是周期，连续的，在之后，结果是离散的。

定义 设 是 上以 为周期的函数，且 在 上绝对可积，称形如

的函数项级数为 的 Fourier级数 或三角级数 ( 的 Fourier展开式)，其中

， ，

记为

 

以 为周期的函数的Fourier级数

设 是以 为周期的函数，令

                      

可以把 变换成以 为周期的t 的函数 。若 在 一可积，则

在 上可积，且 的Fourier级数展开式是

                       （1）

其中              （2）

因为 ，所以 ，于是由（1）（2）分别得

                （3）

与                  （4）

这里（4）式是以 为周期的函数 的Fourier系数，（3）式是 的Fourier级数。

2、  傅里叶变换 -- 非周期连续信号的傅里叶分析

对于连续信号，如果信号不是周期的，其傅里叶分析结果又是如何呢？非周期信号可以等效为周期为无穷大的周期信号。于是，由傅里叶级数出发，利用极限的有关概念，可以推导出非周期信号的傅里叶分析结果，这就是傅里叶变换。再啰嗦一句，非周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，连续的，在之后，结果也是连续的。

对于非周期信号

前者是由信号的时间函数变换成频率函数，称为傅里叶正变换式，有时记为

  或

后者是由信号的频率函数变换为时间函数，称为傅里叶反变换式。有时记为

 或

如果上述变换中的自变量不用角频率 而用频率 ，则由于 ，可写为

频谱密度函数 是一复变函数，可以写为

式中 和 分别为 的模和相位， 和 分别为 的实部和虚部。

傅里叶反变换式也可写成

可见一个非周期信号 也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量，也可以分解为t 的复变函数。若 是实函数，则 和 分别是ω的偶函数和奇函数，并且

3、  离散时间傅里叶变换 -- 非周期离散信号的傅里叶分析

傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号而言的，那么对于数字信号而言，是否有对应的傅里叶分析呢？答案是肯定的，这就是离散时间傅里叶变换（ DTFT ）和离散傅里叶变换（ DFT ）。

       对非周期离散信号的傅里叶分析称为离散时间傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是非周期的，离散的，在之后，结果是连续的。

记连续时间信号f (t ) 的采样为 ， 其傅里叶变换 为

这就是采样序列f (n T ) 的DTFT：

为方便起见，通常将采样间隔T归一化，则有

上式即为f (n ) 的离散时间傅里叶变换 。 它的反变换 为：

考虑到DTFT的周期性（参见频 谱周期性 ），它的逆变换实际上是以周期的连续函数作为输入，离散的谱作为输出，这正是傅里叶级数 的形式。

4、  离散傅里叶变换 -- 周期离散信号的傅里叶分析

对周期离散信号的傅里叶分析称为离散傅里叶变换。在傅里叶分析之前，信号是周期的，离散的，在之后，结果是离散的。如果按照前面三种分析的命名，离散傅里叶变换叫离散傅里叶级数似乎更为妥当。但由于历史的原因，大家习惯把这种傅里叶分析称为离散傅里叶变换。当然，关于 DFT 是否隐含着信号周期性的问题，也有一些争论。有的认为进行 DFT 分析就意味着默认离散信号是周期的，有的则认为离散信号不一定要看成是周期的。此处采取默认离散信号周期性的说法，主要是基于如下理由：如果把 DFT 看做是对 DTFT 结果在频域的采样的话，那么根据信号系统的有关理论可知，频域的采样等效于时域的周期延拓，这样，离散信号自然变成周期的了。在实际分析中，将 DFT 看做是对 DTFT 结果在频域的采样是合乎情理的。

下面给出离散傅里叶变换的变换对：

对于 N 点序列 ， 它的离散傅里叶变换（DFT）为

其中 e 是 自然对数 的 底数 ， i 是 虚数单位 。通常以符号 表 示这一变换，即

离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：

可以记为：

实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和 1/N 。 有时会将这两个系数都改成 。

 

这上面的四个与傅里叶分析有关的概念，最重要的是 DFT 。因为前面三种分析都需要假定信号的时域及频域都是无限长的。从概念上讲，虽然 DFT 也需要时域频域无限长，但由于时域频域都是周期的，因此只需要一个周期的信息即可。另外，由于计算机等数字设备只能 处理数字信号，也即是要求无论是时域还是频域，都要是离散的。因此， DFT 在实践中占有最重要的地位。傅里叶级数，傅里叶变换，离散时间傅里叶变换 这三个概念则更多的用于理论分析中。