P1616 疯狂的采药(完全背包)

转载已于 2022-02-13 16:32:01 修改 · 136 阅读

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原文链接：https://www.luogu.com.cn/blog/WangCodeEmperor/solution-p1616

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#动态规划 #算法 #贪心算法

于 2022-02-13 16:31:31 首次发布

本文详细介绍了完全背包问题的原理，通过实例和C++代码展示了如何解决45单位体积下物品选择问题，以价值最大化为目标。通过模拟动态规划过程，理解dp数组的更新规则。

本题解主要详细讲述了完全背包算法的原理

这题是一个标准的完全背包问题，在分析的时候我们就把题目中的背景去掉，体积就是时间，这样更有利于分析此题以及联想其他背包题目不难得出递推式：

dp(i)=max(dp(i),dp(i−v)+w) ----这里已经进行了数组压维，这样可以优化空间

我们先来假设一下输入数据是这样的：

不难看出输出应该是 10

但是究竟是怎样得出这个结果的呢?

下面展示一下原理：（ vi 为体积，wi 为价值）

首先dp数组初始化全为0：给定物品种类有4种，包最大体积为5，数据来源于题目的输入
v[1] = 1, w[1] = 2
v[2] = 2, w[2] = 4
v[3] = 3, w[3] = 4
v[4] = 4, w[4] = 5

i = 1 时： j从v[1]到5
dp[1] = max(dp[1],dp[0]+w[1]) = w[1] = 2 (用了一件物品1）
dp[2] = max(dp[2],dp[1]+w[1]) = w[1] + w[1] = 4（用了两件物品1）
dp[3] = max(dp[3],dp[2]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] = 6（用了三件物品1）
dp[4] = max(dp[4],dp[3]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] + w[1] = 8（用了四件物品1）
dp[5] = max(dp[3],dp[2]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] + w[1] + w[1] = 10（用了五件物品）

i = 2 时：j从v[2]到5
dp[2] = max(dp[2],dp[0]+w[2]) = w[1] + w[1] = w[2] =  4（用了两件物品1或者一件物品2）
dp[3] = max(dp[3],dp[1]+w[2]) = 3 * w[1] = w[1] + w[2] =  6（用了三件物品1，或者一件物品1和一件物品2）
dp[4] = max(dp[4],dp[2]+w[2]) = 4 * w[1] = dp[2] + w[2] =  8（用了四件物品1或者，两件物品1和一件物品2或两件物品2）
dp[5] = max(dp[5],dp[3]+w[2]) = 5 * w[1] = dp[3] + w[2] =  10（用了五件物品1或者，三件物品1和一件物品2或一件物品1和两件物品2）

i = 3时：j从v[3]到5
dp[3] = max(dp[3],dp[0]+w[3]) = dp[3] = 6 # 保持第二轮的状态 
dp[4] = max(dp[4],dp[1]+w[3]) = dp[4] = 8 # 保持第二轮的状态 
dp[5] = max(dp[5],dp[2]+w[3]) = dp[4] = 10 # 保持第二轮的状态

i = 4时：j从v[4]到5
dp[4] = max(dp[4],dp[0]+w[4]) = dp[4] = 10 # 保持第三轮的状态
dp[5] = max(dp[5],dp[1]+w[4]) = dp[5] = 10 # 保持第三轮的状态

上面模拟了完全背包的全部过程，也可以看出，最后一轮的dp[m]即为最终的返回结果。

这便是完全背包的基本原理，应用到本题也是一样

下面附上AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int s1[20000];
int s2[20000];
long long int dp[10000000];
int main()
{
    int t,n;
    cin>>t>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++ )
        cin>>s1[i]>>s2[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=s1[i]; j<=t; j++)
            dp[j]=max(dp[j-s1[i]]+s2[i],dp[j]);

    cout<<dp[t];
    return 0;
}