中国剩余定理

中国剩余定理(孙子定理)详解

问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何

说明白一点就是说,存在一个数x,除以3余2,除以5余三,除以7余二,然后求这个数。

即:

x%3=2;

x%5=3;

x%7=2;

上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前,需要先知道一下两个定理。

定理1:几个数相加,如果存在一个加数,不能被数a整除,那么它们的和,就不能被整数a整除。

定理2:两数不能整除,若除数扩大(或缩小)了几倍,而被除数不变,则其商和余数也同时扩大(或缩小)相同的倍数(余数必小于除数)。

这两个定理浅显易懂,自己找个例子就能理解,就不再赘述了。

此题分互质和不互质两种情况,我们先讨论互质的情况。

现给出求解该问题的具体步骤:

1、求出最小公倍数

 lcm=3*5*7=105

2求各个数所对应的基础数

(1)105÷3=35

 35÷3=11......2 //基础数35

(2)105÷5=21

 21÷5=4......1

 定理2把1扩大3倍得到3,那么被除数也扩大3倍,得到21*3=63//基础数63  

(3)105÷7=15

15÷7=2......1

定理2把1扩大2倍得到2,那么被除数也扩大2倍,得到15*2=30//基础数30

(注意:在扩大倍数的时候,要看后面的余数是否和题目给的余数相同,如(1)中35%3=2,此时余数为2,与题目给出的x%3=2;余数相同,所以(1)中的35并没有乘以任何数,(2)中的21÷5=4......1余数为1,是题目给的3的1/3,所以当余数1乘以3变得和题目一样时,根据定理2,被除数21也需要乘以三

把得到的基础数加和(注意:基础数不一定就是正数)

35+63+30=128

3、求与最小公倍数lcm的余数(在比最小公倍数大的情况下)

x=128%105=23

那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。

  1. 最小公倍数就不用解释了,跳过(记住,这里讨论的都是两两互质的情况)
  2. 观察求每个数对应的基础数时候的步骤,比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除,就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的开始值,用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征,可以整除其他数但是不能被3整除,并且余数是2。体现的还不够明显,再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数,但是不能被5整除,用21除以5得到的余数是1,而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大,就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征,可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理,我们得到了第三个基础数23,那么他的特征就是:可以被其他数整除,但是不能被7整除,并且余数为2。
  3. 第三步基础数加和,为什么要这样做呢?利用就是上面提到的定理1。  35+63+30=128。对于3来说,可以把63+30的和看作一个整体,应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征,运用定理1来说,就是在35 的基础上加上一个可以被3整除的倍数,那么得到的结果依然还是满足原先的性质的,就是128除以同样还是余2的。同理,对于5还说,这个数被除之后会剩余3;对于7来说,被除之后剩余2。所以说,我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的,那就不一定了。

    4.应该不能确定是不是最小的数,这个时候就要用到他们的最小公倍数了。 最小公倍数顾名思义,一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数,所以对它 取余剩余下来的余数还是符合题意要求的。当然具体要不要剪还是要看和lcm的大小关系的。

稍微的总结一下:就是已知m1,m2,m3是两两互质的正整数,求最小的正整数x,使它被m1,m2,m3除所得的余数分别是c1,c2,c3。孙子定理的思想便是线分别求出被其中数mi整除余1而被两外两个数整除的数Mi(i=1,2,3),则所求数之一的便是c1M1+c2M2+c3M3。由此我们可以得到n个两两互质数的情况。证明上面已经一步一步给出。

那么,到此为止基本的中国剩余定理的内容我们以及了解了,包括解答方法。


那么,如果除数之间不互质呢?

可以直接通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数,找到最小的正整数解,然后后面的所有解都可以通过这个得到。

以后有发现再补充。


转载自( http://www.cnblogs.com/freinds/p/6388992.html)有删改

内容概要:本文详细介绍了900W或1Kw,20V-90V 10A双管正激可调电源充电机的研发过程和技术细节。首先阐述了项目背景,强调了充电机在电动汽车和可再生能源领域的重要地位。接着深入探讨了硬件设计方面,包括PCB设计、磁性器件的选择及其对高功率因数的影响。随后介绍了软件实现,特别是程序代码中关键的保护功能如过流保护的具体实现方法。此外,文中还提到了充电机所具备的各种保护机制,如短路保护、欠压保护、电池反接保护、过流保护和过温度保护,确保设备的安全性和可靠性。通讯功能方面,支持RS232隔离通讯,采用自定义协议实现远程监控和控制。最后讨论了散热设计的重要性,以及为满足量产需求所做的准备工作,包括提供详细的PCB图、程序代码、BOM清单、磁性器件和散热片规格书等源文件。 适合群:从事电力电子产品研发的技术员,尤其是关注电动汽车充电解决方案的专业士。 使用场景及目标:适用于需要高效、可靠充电解决方案的企业和个开发者,旨在帮助他们快速理解和应用双管正激充电机的设计理念和技术要点,从而速产品开发进程。 其他说明:本文不仅涵盖了理论知识,还包括具体的工程实践案例,对于想要深入了解充电机内部构造和工作原理的来说是非常有价值的参考资料。
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