中国剩余定理

中国剩余定理(孙子定理)详解

问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

说明白一点就是说，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。

即：

x%3=2;

x%5=3;

x%7=2;

上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

这两个定理浅显易懂，自己找个例子就能理解，就不再赘述了。

此题分互质和不互质两种情况，我们先讨论互质的情况。

现给出求解该问题的具体步骤：

1、求出最小公倍数

 lcm=3*5*7=105

2、求各个数所对应的基础数

（1）105÷3=35

 35÷3=11......2 //基础数35

（2）105÷5=21

 21÷5=4......1

 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63  

（3）105÷7=15

15÷7=2......1

定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30

（注意：在扩大倍数的时候，要看后面的余数是否和题目给的余数相同，如（1）中35%3=2，此时余数为2，与题目给出的x%3=2;余数相同，所以（1）中的35并没有乘以任何数，（2）中的21÷5=4......1余数为1，是题目给的3的1/3，所以当余数1乘以3变得和题目一样时，根据定理2，被除数21也需要乘以三）

把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）

35+63+30=128

3、求与最小公倍数lcm的余数（在比最小公倍数大的情况下）

x=128%105=23

那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。

1. 最小公倍数就不用解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）
2. 观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的开始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。
3. 第三步基础数加和，为什么要这样做呢？利用就是上面提到的定理1。  35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35 的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。

    4.应该不能确定是不是最小的数，这个时候就要用到他们的最小公倍数了。 最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以对它 取余剩余下来的余数还是符合题意要求的。当然具体要不要剪还是要看和lcm的大小关系的。

稍微的总结一下：就是已知m1,m2,m3是两两互质的正整数，求最小的正整数x，使它被m1,m2,m3除所得的余数分别是c1,c2,c3。孙子定理的思想便是线分别求出被其中数mi整除余1而被两外两个数整除的数Mi(i=1,2,3)，则所求数之一的便是c1M1+c2M2+c3M3。由此我们可以得到n个两两互质数的情况。证明上面已经一步一步给出。

那么，到此为止基本的中国剩余定理的内容我们以及了解了，包括解答方法。

那么，如果除数之间不互质呢?

可以直接通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数，找到最小的正整数解，然后后面的所有解都可以通过这个得到。

以后有发现再补充。

转载自（ http://www.cnblogs.com/freinds/p/6388992.html）有删改