AcWing 4968. 互质数的个数

最新推荐文章于 2025-12-02 15:32:05 发布

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#算法 #数据结构

本文介绍了解决编程竞赛中关于质数的题目，利用分解质因数、欧拉函数和快速幂技巧，计算给定a和b的特定表达式。特别提到当a=1时的特判处理。

关于质数，我们常遇到的由分解质因数、质数筛、欧拉函数等。虽然质数的因子的特殊和位置的随机性，但时间复杂度大概还能控制在O(n)左右，正好符合 $1 \le a \le 10^9$ 的取值要求。同时观察b的取值范围为 $1 \le b \le 10^{18}$ ，且题目中明确提示了乘方，不难想到快速幂。

所以本题思路即为欧拉函数 + 快速幂，由于要取模无法在求欧拉函数前把快速幂求出来，所以巧妙改为 $phi(a) \times a^{b - 1}$ 。由于质因数相同，先求a的欧拉函数，再乘以 $a^{b-1}$ 即可。

注意，当a = 1 时，由条件的 $1 \le x < a^{b}$ ，发现此情况下答案为零，要特判。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10, MOD = 998244353;

LL a, b;
int p[N], n;

void divide(LL x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; ++ i)
        if (x % i == 0)
        {
            p[++ n] = i;
            while (x % i == 0) x /= i; 
        }
    if (x > 1) p[++ n] = x;
}

LL phi(int x)
{
    int ans = x;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        ans = ans / p[i] * (p[i] - 1) % MOD;
    return ans;
}

LL qmi(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = (ans % MOD) * (a % MOD) % MOD;
        b >>= 1;
        a = (a % MOD) * (a % MOD) % MOD;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    
    divide(a);
    LL ans = phi(a) % MOD * qmi(a, b - 1) % MOD;
    
    if (a == 1) puts("0");
    else cout << ans << endl;
    
    return 0;
}