第二章 二维图元的生成 ( 第二部分: 圆与椭圆的扫描转换)

第二章 二维图元的生成

• 掌握扫描转换直线段的DDA算法、中点算法

  • 及中点算法在哪些方面对DDA算法做了改进

• 掌握扫描转换直线段的 Bresenham算法

• 掌握圆弧的八对称性, 扫描转换圆弧的中点算法

• 掌握生成圆弧的多边形迫近法

• 了解正负法，掌握怎样利用正负法生成圆弧

• 掌握扫描转换椭圆弧的中点算法

• 了解线画图元的属性（线型、线宽）控制方法

圆弧的扫描转换

处理对象为圆心在原点的圆弧, 如果不在就使用坐标变换
由于圆的 八对称性, 只需要扫描转换八分之一圆弧就可以了

void CirclePoints(int x, int y, int color) 
{
    Putpixel(x, y, color);
    Putpixel(y, x, color);
    
    Putpixel(-x, y, color);
    Putpixel(y, -x, color);
    
    Putpixel(x, -y, color);
    Putpixel(-y, x, color);
    
    Putpixel(-x, -y, color);
    Putpixel(-y, -x, color);
}

直接离散的圆弧转换方法

缺点

• 需要开根号/三角函数运算, 计算量大

1. 离散点

1. 离散角度

圆弧的正负划分性

圆弧的隐函数
$$F(x,y)=X^2+Y^2-R^2=0$$
对于圆内的点 F(x,y) < 0

对于圆外的点 F(x,y) > 0

生成圆弧的中点算法

假设, 已知

• 半径 R
• 圆心在原点

只考虑第一象限上侧的 1/8 圆, 则切线的斜率 k 属于 [1, 0]

则点 (xi, yi) 的取整值 (xi, yi') 只有两个取值, 即图中的点 E 或 SE

把中点 M(X_i+1, y_i+1) 带入隐函数

1. F(M) < 0, 则 M 在圆内, 说明点 E 更近, 取 E
2. F(M) > 0, 则 M 在圆外, 取 SE

算法步骤

构造判别式
$$d=F(M)=F(X_i+1,Y_i-0.5)=(X_i+1{)}^2+(Y_i-0.5{)}^2+R^2$$

1. d < 0, 取点 E, 下一个像素判别式为

$$d1=F(X_i+2,Y_i-0.5)=d+2X_i+3$$

​ d1 的增量为
$$\Delta d1=2X_i+3$$

2. d >= 0, 取点 SE, 下一个像素判别式为

$$d2=F(X_i+2,Y_i-1.5)=d+(2X_i+3)+(-2Y_i+2)$$

​ d2 的增量为
$$\Delta d2=2(X_i-Y_i)+5$$
d 的初值为 d0 = F(1,R-0.5) = 1.25-R, 因为已知第一个像素为 (0,R)

优化浮点数

由于 d 是浮点数, 用 e = d-0.25 代替

初始值: e0 = 1-R

判别式: d < 0 对应 e < 0.25, 但由于初始值 e0 和增量都为整数, e 始终为整数,所以 e < 0.25 等价于 e < 0

void MidPointCircle(int r, int color)
{
    int x, y, d;
    x = 0;
    y = r;
    d = 1 - r;                    			// 初值 d = 1 - r
    Circlepoints(x, y, color);           	// 画八分对称性的其他点

    while (x <= y)                       	// 画到直线 x = y 为止
    {
        if (d < 0)  
            d += 2 * x + 3;              	// d < 0，取右侧点，d 增
        else 
        {
            d += 2 * (x - y) + 5;        	// d >= 0，取右下点，d 增
            y--;
        }
        x++;
        Circlepoints(x, y, color);       	// 画八分对称性的其他点
    }
}

生成圆弧的多边形逼近法

圆的正内接多边形迫近法

假设多边形的第一个顶点 (x0,y0) 位于圆周上的某一点，通常选择 (R, 0)

从第一个顶点开始，通过旋转角度 α = 2π/n，依次计算出后续的顶点坐标

这个旋转变换可以看作是围绕原点旋转角度 α 的操作，使用标准的二维旋转矩阵即可：

$$\left(\begin{array}{c}{x}_{i+1}\\ y_{i+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_i\\ y_i\end{array}\right)$$

因为 α 是个常数, 每个顶点只需要计算 4 次乘法, n边型就需要计算 4n 次乘法, 再加上直线段的中点算法的计算量

问题: 给定最大逼近误差（最大距离） Δ，如何确定多边形的边数 n 或角度 α

即要求：

$$d=R-R\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\le \Delta$$
由此可得：

$$\alpha \le 2\arccos \left(\frac{R-\Delta }{R}\right)$$
边数 n 满足

$$n\ge \frac{360}{\alpha }$$

圆的等面积正多边形迫近法

有多种方法, 这里介绍一种

1. 根据给定的最大逼近误差求出多边形边的圆心角 α
2. 根据下图示意, 求出边 OPi 的长度
3. 旋转变换得到其他顶点

求 OP 的过程

这里为了简化公式, 令 OP = r, 圆的半径为 R
$$A_{\text{sector}}=\frac{1}{2}{R}^2\alpha =A_{\text{triangle}}=\frac{1}{2}{r}^2\cdot \sin (\alpha )$$

$$r=R\sqrt{\frac{\alpha }{\sin (\alpha )}}$$

椭圆的扫描转换(生成椭圆的中点算法)

类似于圆弧的扫描转换, 但由于椭圆只具有四对称性, 所以考虑将第一象限的圆弧分为上下两部分分别绘制, 以 k = -1 为分界线

椭圆的隐函数
$$F(x,y)=b^2{x}^2+a^2{y}^2-a^2{b}^2=0$$
对于椭圆内的点 F(x,y) < 0

对于椭圆外的点 F(x,y) > 0

椭圆上一点处的法向如下公式, 可以用椭圆的隐函数求偏导推出, 这里不做详细解释
$$N(x,y)=2b^2{x}_i+2a^2{y}_i$$

如何判断从上段进入下段

在上半部分, 法向量的 x分量 < y分量, 而下半部分则相反

因此, 当不等式改变方向时, 椭圆就从上段进入了下段

算法步骤

上段部分

因为斜率在 [-1,0], 所以求 x 递增 1 时, y 递减多少

当前像素的下一个像素可能是 右 点 或 右下 点

构造判别式
$$d=F(x_i+1,y_i-0.5)=b^2(x_i+1{)}^2+a^2(y_i-0.5{)}^2-a^2{b}^2$$

1. d < 0, 取右点, 下一个像素判别式为

$$d1=F(X_i+2,Y_i-0.5)=d+b^2(2X_i+3)$$

​ d1 的增量为
$$\Delta d1=b^2(2X_i+3)$$

2. d >= 0, 取右下点, 下一个像素判别式为

$$d2=F(X_i+2,Y_i-1.5)=d+b^2(2X_i+3)+a^2(-2Y_i+2)$$

​ d2 的增量为
$$\Delta d2=b^2(2X_i+3)+a^2(-2Y_i+2)$$
d 的初值为
$$d0=F(1,b-0.5)=b\ast b+a\ast a(-b+0.25)$$

下段部分

因为斜率在 [-∞,-1], 所以求 y 递减 1 时, x 递增多少

当前像素的下一个像素可能是 下 点 或 右下 点

构造判别式, 为防止混淆, 这里使用 e
$$e=F(x_i+0.5,y_i-1)=b^2(x_i+0.5{)}^2+a^2(y_i-1{)}^2-a^2{b}^2$$

1. e >= 0, 中点在椭圆弧外, 取下点, 下一个像素判别式为

$$e1=F(X_i+0.5,Y_i-2)=d+a^2(-2Y_i+3)$$

​ e1 的增量为
$$\Delta e1=a^2(-2y_i+3)$$

2. e < 0, 中点在椭圆弧内, 取右下点, 下一个像素判别式为

$$e2=F(X_i+1.5,Y_i-2)=d+b^2(2X_i+2)+a^2(-2Y_i+3)$$

​ e2 的增量为
$$\Delta e2=b^2(2X_i+2)+a^2(-2Y_i+3)$$
e 的初值为
$$e0=F(x_p+0.5,y_p-1),其中(x_p,y_p)是上半段结束时的坐标$$
当 y = 0 时, 算法终止

void MidpointEllipse(int a, int b, int color)
{
    int x, y;
    float d1, d2;
    
    x = 0;
    y = b;
    
    d1 = b * b + a * a * (-b + 0.25);  									// d1初值
    putpixel(x, y, color);
    
    // 上半部分
    while (b * b * (x + 1) < a * a * (y - 0.5))  						// 直到上下分界点
    {
        if (d1 < 0) {
            d1 += b * b * (2 * x + 3);  								// 取右点, d1增
            x++;
        } else {
            d1 += (b * b * (2 * x + 3) + a * a * (-2 * y + 2));			// 取右下点，d1增
            x++;
            y--;
        }
        EllipsePoints(x, y, color); 									// 四对称画点
    }
    
    // 下半部分
    d2 = b * b * (x + 0.5) * (x + 0.5) + a * a * (y - 1) * (y - 1) - a * a * b * b;	// d2初值
    while (y > 0)  																	// 直到x坐标轴
    {
        if (d2 < 0) {
            d2 += b * b * (2 * x + 2) + a * a * (-2 * y + 3);  						// 取右下点
            x++;
            y--;
        } else {
            d2 += a * a * (-2 * y + 3);  											// 取下点
            y--;
        }
        EllipsePoints(x, y, color);
    }
}