数学理论—— 蒙特卡洛近似

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#python #数学原理 #强化学习 #蒙特卡洛

于 2022-04-06 09:59:53 首次发布

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本文通过数学理论，详细讲解了如何利用蒙特卡洛方法估算圆周率、一元和多元积分，并演示了期望估计的实际应用。通过代码实例展示了如何用随机抽样计算这些复杂数学问题的近似解。

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数学理论—— 蒙特卡洛近似

1. 圆周率估算
- 1.1 理论
- 1.2 代码实现
2. 近似积分
- 2.1 一元积分（univariate）
- 2.2 多元积分（multivariate）
3 期望估计（Estimate of Expection）

1. 圆周率估算

1.1 理论

边长为2的正方形的横坐标范围为[-1,1]，纵坐标为[-1,1]。
数据点（x，y）的横坐标从[-1,1]中均匀抽样得到，纵坐标从[-1,1]中均匀抽样得到，则数据点落在圆内的概率为： $p=\frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi}{4}$
计算误差为： $o(\frac{1}{\sqrt{n}})$

则计算圆周率的流程为：

设定一个大数n，计数器m。
for i = 1 to n： $x\gets[-1,1]\\y\gets[-1,1]\\ \\m\gets m+1(当x^2+y^2≤1时)$
$\pi \gets \frac{4m}{n}$

1.2 代码实现

import random
n = 10000000
m = 0
for i in range(n):
    x = random.uniform(-1,1)
    y = random.uniform(-1,1)
    if x**2 + y**2 <= 1:
        m += 1
print(4*m/n)

3.1415656

2. 近似积分

2.1 一元积分（univariate）

计算如下积分: $I=\int_a^b{f(x)}d_x$

从[a,b]中进行n次抽样，得到: $x_1,x_2,...,x_n$
计算： $Q_n=(b-a)\cdot \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n f(x_i)$
可用Qn去近似积分I，因为大数定律可以保证其误差反比于： $\sqrt n$
代码为：

import random
def f(x):
    return x**2
a = -1
b = 1
n = 100000000
sum_num = 0
for i in range(n):
    x = random.uniform(a,b)
    sum_num += f(x)
Q = (b-a)* sum_num / n 
print(Q)

结果为：

0.6666073503023225

2.2 多元积分（multivariate）

求取积分： $I=\int_{\Omega}f(X)d_X$

从 $\Omega$ 中进行n次抽样，得到: $X_1,X_2,...,X_n$
计算： $V=\int_\Omega d_X$
计算： $Q_n=V\cdot \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n f(X_i)$
可用Qn去近似积分I，因为大数定律可以保证其误差反比于： $\sqrt n$
求取下式积分： $f(x,y)=\left\{ \begin{aligned} 1&, x^2+y^2≤1 \\ 0&,otherwise \end{aligned} \right.\\ \Omega=[-1,1]\cdot[-1,1]\\I=\int_{\Omega}f(x,y)d_xd_y$
代码为：

def f(x,y):
    if x**2 + y**2 <= 1:
        return 1
    return 0
a1 = -1
a2 = -1
b1 = 1
b2 = 1
n = 10000000
sum_num = 0
for i in range(n):
    x = random.uniform(a1,b1)
    y = random.uniform(a2,b2)
    sum_num += f(x,y)
V = 2*2 
Q = V*sum_num / n 
print(Q)

3.1415416

3 期望估计（Estimate of Expection）

X为d维随机变量
P（X）为X的概率密度函数： $P(X)\gets probability\quad density\quad function$
$\int_RP(X)d_X=1$
计算f(X)的期望：

依据P(X)进行随机抽样，得到： $X_1,X_2,...,X_n$
计算： $Q_n=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n f(X_i)$
$Q_n\approx E_{X\sim P}[f(X)]$

代码为：

n = 10000000
sum_num = 0
for i in range(n):
    x = random.normalvariate(2,1)
    sum_num += x
print(sum_num/n)

2.000336379227587

本文部分内容为参考此视频。

by CyrusMay 2022 04 04

生命是华丽错觉
时间是贼偷走一切
————五月天（如烟）————