数学--n与7的情愫

求证：8^n % 7 = 1.（n为任意自然数）

证明：（1）数学归纳法.

        n = 1, 8^1 = 8, 8 % 7 = 1，成立

        假设n = k时等式成立，即8^k % 7 = 1 => 8^k = 7*P + 1（P为某一自然数）

        那么n = k + 1, 8^n = 8^(k+1) = 8*8^k = 8*(7*P +1) = 7*(8*P + 1) + 1，等式成立

        综上，8^n % 7 = 1对任意自然数n均成立。

           （2）利用等比数列前n项和公式证明.

        对于等比数列an = 8^(n - 1)，n为任意自然数，前n项和sn为

        sn = 1 + 8^1 + 8^3 + …… + 8^(n - 1) = (8^n - 1) / (8 -1) = (8^n - 1) / 7 = P =>  8^n - 1 = 7 * P

        故，得证。